12. Линейные уравнения n-го порядка. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Фундаментальная система решений.

Линейные уравнений n-го порядка имеют вид:

Пусть даны на а<x<b составим их линейную комбинацию: Если эта линейная комбинация тождественно =0 в (а,b) только при нулевых коэффициентах , то функцииназываются линейно не зависимыми в (а,b) в противном случае функцию называют ЛЗ.

Две функции ЛНЗ если их отношения :

Совокупность решений гдеоднородного линейного уравненияЛНЗ в интерваленазывается фундаментальной системой решений этого уравнения на

Определитель составленный из частных решений и их производных до (n-1) порядка называется определитель Вронского:

Свойства Вронскиана:1) Если W(x)обратим в ноль в одной точке интервала (a,b) следовательно он равен нулю на всем интервале. 2) Если хотя бы в одной точке (a,b) то он отличен от нуля на всех точках (a,b).

13. Линейное ду второго порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянных.

y’’+ a(x)y’+b(x)y=0 (1) - ОЛДУ второго порядка a(x),b(x) – непрерывные функции. То

Пусть

Решая найдем

Неоднородные .

Будем использовать решение (4) с помощью метода вариационных произвольных постоянных. (1) – ОДУ, (3) – общее решение.

В (3) заманим постоянные на

(3),(5) подставим в (4)

Сгруппируем при с1 и с2. Получим систему .

(6)

Решив (6) способом Крамера:

14. Однородное линейное ду второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Имеет фундаментальную систему решений определенных на и состоящий из степенных показателей и тригонометрических функций. Соответственно и общее решение:

Построим фундаментальную систему решения уравнения (1) с помощью метода Эйлера. Будем искать частное решение вида

(2) подставим (1)

Структура фундаментальной системы решений (1) зависит от вида корней характеристического уравнения (3)

Случаи:1) Все корни характеристического уравнения (3) действительны и различны. Тогда фундамент. Система примет вид:

2) Все корни характеристического уравнения (3) различны но среди них имеются комплексные:

Общее решение (1):

1. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:

2. Пусть - к-краттный комплексный корень следовательнотакже является к-кратным корнем. Разряд кратностей = 2к.

15. Неоднородное линейное ду второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Построим частные решения уравнения (4)

1. f(x)=p(x)

Если 0 является то частное решение Q(x), где Q(x) многочлен той же степени что р(х) с неопределенными коэф. Если 0 является корнем причем кратности к, то

2. 

Если – не является корнем (3) то, Если– является корнем (3) то

3. 

4. 

16. Приложение линейных ду второго порядка. Свободные вынужденные колебания.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы m по оси x. Пусть движение происходит по д действием 3-х сил.

1) Сила притяжения т.к. началу координат имеющая проекцию на Ох соответствует –ах, а> 0 .

2) Сила сопротивления среды пропорциональна 1-й скорости соответствует

3) Возмущающие силы направленные по оси x и F(t) в момент времени t, тогда применяя 2-й закон Ньютона получим ДУ движения.

1. – НОЛУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Проинтегрировав кот. Найдем (решение x(t)) закон движения рассматриваемой точки. Представленное собой колебания в т. Х=0, то ур.(1) называется уравнением колебаний.

При этом если сила отсутствует f(t)=0 то уравнение (1) примет вид:

– называется уравнением свободных колебаний. А если обратное то уравнением вынужденных колебаний.

Свободные колебания:

Т1 . Если h=0 колебания происходят в среде без сопротивления тогда (2) примет вид:

Т2. h>0 колебания происходят в среде сопротивлений..

Характеристическое уравнение:

Вынужденные колебания.

Т1. Сила F(t) периодическая и имеет синусоидальный характер и колебания происходит в среде без сопротивления, h=0:

T2. Вынужденные колебания уравнения (1) в среде с сопротивлением n<k и возмущающаяся сила имеет синусоидальный характер: