17. Линейные ду. Лз функции и вектор-функции. Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Фундаментальная система решений.

Т. Существует единственное решение для системы ЛДУ.

Система ЛДУ заданная в нормальной форме:

−ЛНЗ решений

18. Неоднородные линейные дифференциальные системы с переменными коэффициентами.

Рассмотрим ЛС состоящую из n-уравнений

Доказательство: Применим метод вариации произвольных постоянных т.е. будем использовать решения системы (1) в виде:

19. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дана однородная ЛС (1)

(3) Эта система имеет не нулевое решение если ее определитель равен 0

характеристическое уравнение, а его корни характеристическими числами системы (1) . Получается 3 случая.

Вывод: В общем случае каждому простому действительному характеристическому числу соответствует одно частное решение, каждой паре простых сопряженных комплексных характеристических чисел соответствуют 2 действительных ЛНЗ части решения. Действительному характеристическому числу кратности к соответствует к действительных ЛНЗ частных решений.

20. Понятие о системах дифференциальных уравнений. Связь с уравнениями высших порядков.

Пусть дана система n-уравнений записанная в параметрической форме:

(1)

Одним из способов интегрирования является метод исключения. Он состоит в том что из системы (1) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены их значений системы (1) пытаются исключитьь все искомые функции для которых полученное уравнениеn-го порядка. Найдя общее решение этого уравнения находим остальные известные функции без квадратуры.

Второй способ : Систему (1) можно решить методом нахождения интегрируемых комбинаций т.е. построим с помощью алгоритма операции из уравнений системы достаточно просто решаемых уравнений.