29. Маршруты, цепи, циклы

Df.1.: Послед.-ть рёбер (v_i1 v_i2),(v_i3 v_i4),…,(v_ik v_ik+1) наз. маршрутом.

Замеч.: Иногда маршрут (v_i1 v_i2),(v_i3 v_i4),…,(v_ik v_ik+1)задают перечислением вершин: (v_i1 v_i2 v_i3 … v_ik+1).

Df.2: Если в маршруте (v_i1 v_i2 v_i3 … v_ik+1) v_ik+1= v_i1,то маршрут наз.замкнутым иначе-незамкнутым.

Df.3.: Маршрут,в котор. все рёбра попарно различны наз. цепью.

Df.4: Цепь,в котор. все вершины,кроме,может быть,его концов,различны наз. простой.

Df.5.: Замкнутая простая цепь наз. простым циклом.

Df.6.: Длиной маршрута наз. колич.-во его рёбер с учётом повторений.

Df.7.: Расстоян. между 2мя вершинами наз. длина кратчайшей цепи,соедин. эти вершины.Сама такая цепь наз. геодезической.Расстоян. между 2мя вершинами v_i,v_j обознач. d(v_i,v_j).

Df.8.: Самая длинная геодезиров. цепь наз. диаметром графа.Длина диаметра графа так же наз. диаметром и обознач. Д.

Замеч.:В ориентиров. графе аналогом маршрута явл. ориентир. маршрут,аналогом цепи-путь,аналогом простого цикла-контур.

30. Виды графов

Df.1.: Граф наз. полным,если в нём любые две вершины соеденены ребром.Полный граф с n-вершинами обознач. K_n.

Замеч.: В полном графе K_n степень каждой вершины = n-1 поэтому в таком графе имеется n(n-1)/2 рёбер.

Df.2: Граф наз. регулярным степени k,если степень каждой его вершины = k.

Замеч.:Полный граф K_n явл. регулярным степени n-1.

Df.3.: Граф G=(V,E) наз. двудольным,если множ.-во его вершин V можно разбить на два подмнож.-ва V₁,V₂ так,что рёбра соединяют только лишь вершины из различных подмножеств.В этом случае двудольный граф обознач.через G=( V₁,V₂ ,E).

Замеч.: Если дан граф G=(V,E),то через ӏVӏ обозначают количество вершин графа,а через ӏEӏ-количество рёбер графа.

Df.4.: Пусть дан граф G=( V₁,V₂ ,E) и пусть ӏV₁ӏ=m, ӏV₂ӏ=n.Пусть,кроме того,каждая вершина одного множ.-ва соединена рёбрами со всеми остальными вершинами другого множ.-ва.Тогда такой граф обознач. через K_m,n.Если при этом m=1 или n=1,то такой граф наз. звездой.

Df.5.: Граф наз. связным,если в нём любые две вершины соединены цепью.Иначе,граф наз. несвязным.

Замеч.:Несвязный граф состоит из трёх компонент связности.

Теорема :Связный граф явл. двудольным тогда и только тогда,когда все его простые циклы имеют чётную длину.

Df.6.:Ориентированный граф наз. слабо связным,если при замене дуг на рёбра,мы получаем связный неориентированный граф.

Df.7.:Ориентированный граф наз. сильно связным,если любые две вершины можно соединить путём.

31. Способы задания графов

Рассм. след. способы задания графа:

1.задание графа G=(V,E) перечислением элементов множеств V и E;

Дан граф G=(V,E),где V={v₁ ,v₂ ,v₃ ,v₄},а E={( v₁ ,v₂)( v₁ , v₃)( v₂ ,v₃)( v₃ , v₃ )}.

2.задание графа графически;

3.задание графа матрицей смежности А.Эта матрица явл. квадратной её элем. а_ij задаются след. образом:а_ij={1,если есть ребро (v_i v_j);0,если нет ребра(v_i v_j)}.

Замеч.:Если мы имеем дело с мультиграфом,то первая строка имеет вид:а_ij=k,если есть k-рёбер (v_i v_j).

Свойства матрицы смежности:

1.число единиц в i-ой строке=степени вершины v_i;

2.число единиц в j-ой столбце=степени v_j;

3.матрица симметрична относительно главной диагонали,т.е. а_ij =1a_ji =1;

4.число единиц во всей матрице=удвоенному числу рёбер.

Замеч.:Для ориентированного графа элем. а_ij матрицы смежности опред.-ся след. образом:

а_ij ={1,если есть дуга (v_i v_j);0,если нет дуги (v_i v_j)}

Df.1.: Степенью выхода вершины v_i в ориентирован.графе наз. количество дуг,выходящих из вершин v_i.

Df.2.: Степенью выхода вершины v_i в ориентирован.графе наз. количество дуг,входящих в вершину v_i.

Св.-ва матрицы смежности ориентир. графа:

1.колич.-во единиц в i-ой строке=степени выхода вершины v_i;

2.колич.-во единиц в j-ом столбце=степени входа вершины v_j;

3.колич.-во единиц в матрице=количеству дуг;

4.матрица не симметрична относительно главной диагонали.

4.Задание графа матрицей инциденций:

Пусть дан граф G=(V,E),в котором есть n-вершин: v₁ ,v₂,…,v_n и m-рёбер:e₁,e₂,…,e_m.Тогда матрица инциденций В задаётся числами В_ij ,котор.определяются след. образом:b_ij=1,если вершина i инцидентна ребру е_i ,равна 0,если не инцидентна.

Св.-ва матрицы инциденций неориентированного графа:

1.число единиц в i-ой строке=степени вершины v_i;

2.число единиц в каждом столбце=2;

3.число единиц в матрице=удвоенному числу рёбер.

Для ориентирован. графа элементы b_ij матрицы инциденций задаются след. образом:

b_ij ={-1,если дуга e_i исходит из вершины v _i ;+ 1,если дуга e_i заходит в вершину v _i; 0,если дуга e_i не инцидентна вершине v _i .

Св.-ва матрицы инциденций ориентирован.графа:

1.число единиц с «-» в i-ой строке=степени выхода вершины v_i;

2. число единиц с «+» в i-ой строке=степени входа вершины v_i;

3.в каждом столбце ровно одной -1 и +1;

4. число единиц с «+»=числу единиц с «-» и = количеству дуг.