35. Деревья. Лес.

1. Связной граф без циклов наз. деревом.

2. Граф без циклов наз. лесом.

3. Цикл наз. простым,если в нём каждая вершина встречается только один раз.

Теор.6.7:След.утверждения явл. эквивалентными:

1)граф G явл. деревом;

2)граф G явл. связным и не содержит простых циклов;

3)граф G явл. связным и число его рёбер на единицу меньше числа вршины;

4)любые 2е вершины графа G можно соединить единственным и при том простым маршрутом;

5)граф G не содержит циклов,но,добавляя к нему ребро,не добавляя новых вершин,мы получаем единственный и при том простой цикл,проходящий через добавленное ребро.

Лемма 6.1:Во всяком цикле можно выделить простой цикл.

Д.-ва:Пусть дан цикл,длина котор. = k,док.-во теоремы проведём по принципу матем. Индукции относит.-но k:

1)k=1,т.е. циклом явл. петля и лемма в этом случ. выполняется;

2)k=n,лемма пусть выполн.Рассм. цикл длины (n+1):v₁e₁ v₂e₂ …v_n+1e_n+1v₁.

Если все вершины этого цикла различны,то лемма док.-на.Пусть найдутся 2а таких номера i,j 1≤i≤j≤n+1,что v_i ≤v_j,тогда цикл v₁e₁ e_i+1e_i+1…v_j-1e_j-1v_i имеет длину не превышающую n и по индуктивному предположению в нём можно выделить простой цикл.Ч.т.д.

Следств.:Утверждение 1 и 2 теоремы явл. эквивалентными.

Лемма 6.2:Если в графеG имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины,то в графе G имеется хотя бы один простой цикл.

Д.-ва:Если в графе имеется хотя бы одна петля,то каждая петля образует простой цикл.Пусть в графе петель не будет ,есл в графе имеются кратные рёбра,то кажд. пара кратных рёбер образует простой цикл.

Пусть в графе кратных рёбер не будет.Рассм. пару смежных вершин v₁ ,v₂ .Поскольку в графе имеется хотя бы одно ребро,то такая пара обязат. найдётся,т.к. в графе нет висячих вершин,то степень вершины v₂ не меньше 2ух и поэтому для вершины v₂ обязат. найдётся смежная вершина,обозначим её через v₃ .Т.к. в графе нет кратных рёбер,то v₃≠ v_{1 .}Тогда продолжая наши рассуждения таким образом мы получим бесконечную послед.-ть вершин v₁ ,v₂ ,v₃ ….,в котор. для любого i≥1 выполняется v_i+2≠ v_i.Т.к. число вершин в графе конечно,то в этой послед.-ти найдутся вершины v_i ,v_j такие,что i<j v_i =v_j ,тогда послед.-ть вершин v_i ,v_i+1 ,…,v_j будет определяться циклом,в котор. по предыд. Лемме можно выделить простой цикл.Ч.т.д.

Лемма 6.3:Если у дерева G есть хотя бы одно ребро,то у него обязательно найдётся висячая вершина.

Д.-ва:Предположим,что у дерева есть хотя бы одно ребро,то отсутств. висячие вершины,тогда по предыд. Лемме у дерева найдется простой цикл,что противоречит определению дерева.Ч.т.д.

Лемма 6.4:Пусть дан связный граф G и v-его висячая вершина.Пусть граф G’ получен из G,удалением вершины v вместе с инцидентным ей ребром.Тогда граф G’ тоже явл. связным.

Лемма 6.5:Пусть дано дерево G и n-количество вершин дерева,а m-количество рёбер.Тогда m=(n-1).

Лемма 6.6:Пусть G-дерево,а G’ получено добавлением ребра (v_i ,v_j),где вершина v_i принадлежит графу G,а v_j не принадлежит G.тогда G’ тоже явл. деревом.

36. Остовное дерево

Df.1.: Остовным деревом связного графа G наз. такой его подграф, который содержит все вершины графа G и явл. деревом.

Замеч.:Остовное дерево наз. ещё покрывающим.

Замеч.:для одного и того же связного графа остовных деревьев может быть несколько.

Замеч.:Если дан связный граф G с n-вершинами,m-рёбрами,то остовное дерево должно содержать (n-1)-рёбер.Поэтому для преобразования исходного графа G в остовное дерево из графа G надо удалить m-(n-1)=m-n+1 рёбер.Это число ѵ=m-n+1 наз. цикломатич. числом связного графа.

Рассм. алгоритм построения остовного дерева для связного графа G с n-вершинами:

переход. К пункту 2;

2)Если i=n,то построение закончено и граф G_i явл. остовным деревом ,иначе переходим к п.3;

3)Пусть граф G_i построен и содержит вершины v₁ ,v₂ ,v₃ ,…,находим ребро(v_k ,v_j) графа G такое,что вершина v_k принадлежит G_i ,а вершина v_j нет.Добавл. это ребро к графу G_i и обозначим полученный граф через G_i+1. Полагаем,что i:=i+1 и переходим к п.2.

Df.2.: Минимальным остовным деревом (МОД) связного графа G наз. остовное дерево,имеющее наименьшую сумму рёбер среди всех остовных деревьев.