17. Формулы. Равносильность формул

1/Ф-лы

Df.1.: Пусть F – некоторое мн-во булевых ф-ций, тогда:

1. Каждая переменная явл ф-лой над F.

2. Символы 1 и 0 явл ф-ми над F.

3. Каждое выражение явл формулой над F.

4. Если ф-ла над F, и A₁, A₂ ,…, A_n – ф-лы над F, то выражение f(A₁, A₂ ,…, A_n) – явл ф-ой над F.

2/ Равносильность

Df.2.: Пусть – совокупность всех переменных входящих хотябы в одну из ф-л А, В, тогда ф-лы А и В - наз равносильными, если они принимают одинаковые значения на любом наборе значений переменных . В этом случае пишут: А.

Замече.: Все равнос-ти, кот-е имели место в логике выск-ий остаются в силе и для рассматриваемых формул. Кроме того, имеются новые равносильности, связанные с вновь введенными ф-циями:

23. ABBA	Где -	28.
24. A(B(AB)		30. A (B (AB)
25. A/B ; 26. A;			31. A
27. AB ;			32. A

Замеч.: Пользуясь имеющими равносильностями ф-лы можно преобразовывать к более простому специальному виду.

Замеч.: Тождественно-исинные, тожд-ложные и выполнимые ф-лы определяются точно так же как и в логике высказываний.

18. Метод рекуррентных соотношений

Сущность этого метода заключается в том, что решение этой же задачи с меньшими значениями переменных. При этом связь между исходной задачей и задачей с меньшими значениями переменных задаётся с помощью, так называемых, рекуррентных соотношений.

Df.1.: Рекуррентным называется соотношение, в котором для вычисления некоторого члена числовой последовательности используются значения предыдущих членов этой же последовательности.

Зам: Мы уже знакомы с одним рекуррентным соотношением. Это соотношение задаётся

Леммой.1. :=.

Пример: В 1240г. Итальянский математик Фибоначчи предложил, так называемую, задачу о кроликах. Её суть состоит в следующем: на ферме имеется 1 пара кроликов. Сколько пар кроликов будет через n месяцев при условии, что

1)через месяц пара становится плодоносящей;

2)в один месяц от каждой пары появляется приплод в размере одной пары;

3)кролики никогда не умирают.

Обозначим искомое число через f_n. Каждый месяц на ферме будут молодые и старые кролики. Число молодых пар кроликов через n месяцев обозначим через M_n, число старых пар кроликов – через C_n. Тогда f_n=M_n+C_n; f_n+1=M_n+1+C_n+1. Кроме того, в каждом месяце число молодых пар кроликов будет=числу старых пар кроликов в предыдущем месяце, т.е. М_n+1=C_n. Кроме того, все молодые пары кроликов через месяц станут старыми, поэтому C_n+1=M_n+C_n=f_n. Аналогично C_n+2=M_n+1+C_n+1=f_n+1; C_n+3=M_n+2+C_n+2=f_n+2. Тогда f_n+2 =M_n+2+C_n+2= M_n+2+ f_n+1= C_n+1+f_n+1=f_n+f_n+1. Т.о. f_n+2=f_n+f_n+1. Поскольку f₀=0, f₁=1, то мы получаем следующую последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. 34, 55, 89, …

19. Решение линейных рекуррентных соотношений

Пусть дано рекуррентное соотношение f_n+2=f_n+f_n+1, где f₀=0, f₁=1. Тогда для вычисления n-ого члена необходимо вычислить все предыдущие члены. Конечно же хотелось бы f_n, зная только n. Для некоторых рекуррентных соотношений это можно сделать. Рассмотрим рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами. Методику решения таких рекуррентных соотношений рассмотрим на следующем примере. Пример: Пусть _n+2=f_n+f_n+1, где f₀=0, f₁=1. Будем считать, что f_n=pⁿ. Тогда рассматриваемое рекуррентное соотношение перепишется в виде pⁿ⁺²=pⁿ+pⁿ⁺¹. Разделим обе части этого соотношения на pⁿ: р²=1-р¹ => р²-р-1=0 Решив это уравнение, получим корни : р₁=; р₂=. Тогда рекуррентное соотношение будет иметь вид f_n=c₁()ⁿ+c₂ ()ⁿ. Если n=0, то f₀=0=c₁+c²; n=1 => f₁=1=c₁()+c₂ (). Мы получили систему уравнений: с₁+с₂=0 и c₁+c₂=1. с₁=, с₂= - . Тогда рекуррентное соотношение примет вид f_n=. Последняя формула известна под названием Бине для нахождения чисел Фибоначчи. Замечание: Исходя из рассмотренного примера можно изложить общую методику решения рекуррентных линейных соотношений с постоянными коэффициентами. В общем случае линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами имеет вид: x_n+k=a_k-1x_n+k-1+a_k-2x_n+k-2+…+a₀x_n (1). Где a_i-постоянные коэффициенты, x₁,…,x_k- начальные значения. Решение соотношения находим в виде x_n=pⁿ. Подставим это в соотношение (1). В результате получим полином k-ой степени: p^k=a_k-1p^k-1+…+a₁p+a₀. Это ур-ние имеет k-корней p₁, … , p_k. Тогда общее решение соотношения будет иметь вид: x_n=, здесь c_i-постоянные коэф-ты и их будем находить исходя из начальных условий x₁, … , x_k. В результате получим систему линейных уравнений относительно постоянных коэф-тов.