15. Разбиение. Полиномиальная теорема

Пусть дано множество X, состоящее из n- элементов. Рассмотрим разбиение мн-ва X на подмножества X₁,X₂, … ,X_n ,такиe, что 1. 2. Число элементов в подмножествах обозначим соответственно через n₁,n₂, … , n_k. Очевидно n₁+n₂, … + n_k=n. Число таких разбиений мн-ва X на подмножества X₁,X₂, … ,X_к обозначим через (.

Лемма 4.9: .

Д-во: Каждое из подмножеств X₁,X₂, … ,X_к можно рассматривать как сочетание без повторений. Поэтому 1-ое подмножество X₁ можно выбрать различными способами; 2-ое – X₂ можно выбрать ; 3-ое – X₃ -

Тогда по обобщенному правилу произведения получаем(Усл обознач ):

Мультиполиномиальные коэффициенты

В предыдущем параграфе была доказана лемма 4.9 .

Df 4.25 Числа называются мультипликативными коэффициентами.

Зам: Мультипликативные коэффициенты стоят при произвед-ии в разложении .

Зам: В целом, верна так называемая полиномиальная теорема. Ее суть выражается в след. формуле: , где суммирование ведется по всем наборам (n₁,n₂, … ,n_k) таким, что:

1. n₁+n₂+…+n_k=n

2. n₁0; n₂0; … n_k0

16. Булевы функции

Df.1.: Функция наз булевой, если она сама и ее аргументы принимают значение из мн-ва {0,1}

Замеч.: Булевы ф-ции наз еще истиностными или ф-циями алгебрв логики.

Замеч.: Булеву ф-цию f(x₁,x₂,... x_n) можно задать так называемой таблицей истинности, в которой будет (n+1) столбцов и 2ⁿ – строк. В первых n-столбцах записывается все возможные наборы значений переменных x1,x2…xn, в (n+1)столбце записывается значение функции на этих наборах.

Прим.: Рассмотрим булеву ф-цию f(x₁,x₂), заданную следующей таблицей:

x1	x2	f(x1,x2)
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Условимся в таблицах наборы значений переменных x₁,x₂,... x_n записывать в порядке возрастания чисел, определяемых этими наборами в двоичной записи. Такие табл будем наз стандартными.

Замеч.: Любые 2 стандартные таблицы двух различных ф-ций от одного и того же числа переменных отличаются только лишь последним столбцом, поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема.1.: Числа всех различных булевых ф-ций от n переменных = .

Замеч.: По аналогии с тем, что как определялись в логике высказываний операции , здесь определяется с такими же названиями булевы ф-ции: ¯, ᴧ,ᴠ,→,↔. Кроме того, введем в рассмотрение еще 3 новые булевы ф-ции от 2-х переменных:

x1	x2
0	0	1	1	0
0	1	1	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	0

– штих Шеффера(отрицание конюнкции)

– стрелка Пирса(отрицание дизъюнкции)

– сложение по mod 2 (отрицание эквивалентности).

Df.2.: Перемен – () в булевой ф-ции f наз несущественной (или фиктивной), если для для любого набора – выпол-ся усл-е f() = . Иначе переменная наз существенной.

Прим.: В 1-м прим. в булевой ф-ции f(x₁,x₂),, заданной табл, переменная явл фиктивной.

Замечание: Если в булевой ф-ции f(x₁,x₂,... x_n) переменная xi – явл фиктивной, то значит ф-ция а от этой переменной не зависит и значит мы имеем дело с некоторой ф-цией g(). В этом случае говорят, что ф-ция g – получена из ф-ций f путем удаления фиктивной переменной xi, а ф-ция f получена путем введения фиктивной переменной xi.

Замеч.1.: В силу сделанного выше замечания каждую ф-цию, от n – переменных можно рассматривать как ф-цию от большого числа переменных.

Df.3.: 2-е булевых ф-ции наз равными, если одну из них можно получить путем введения или удаления фиктивных переменных.

Замеч.: Мн-во всех булевых ф-ций обозначим через P₂.