40. Алгоритм распознавания однозначности кодирования

Пусть дано алфавитное кодирование со схемой (Σ).Для кажд элем кода В рассм все возножные разложения этого элементарн кода

Вi=В’Вi1Вi2…ВiкВ’’ (*)-разложение элем кода В1по другим элем кодам, где В’В’’- слова отлич от элемент кодов

Через A обозначим мн-во сост из 1)пустого слова (˄(), 2)слов В кот в разлож вида (*) встречаются как в форме префикса ,так и в форме не префикса

Затем на плоскости каждому элем мн-ва А поставим в соотв вершину, после этого для каждого разлож вида (*) на плоскости проведём отрезок от вершины соотв В’к вершине соотв B’’на самой стрелке запишем внутреннюю часть разлож (*). Получим граф, обознач через Г (Σ). Отметим что граф Г(Σ) явл ориентированным

Теорема 7.4 Декодирование невозможно  граф Г(Σ) содержит ориетиров цикл проходящ через вершину ­­_–ᴧ­_–

41. Коды Хэмминга

Здесь мы рассм равном кодиров. Пусть дан алфавит Ӓ и пусть S(Ӓ) мно-во слов{А1А2…Аi}в алфав Ӓ, имеющ одинаков длину m, тогда равном кодиров определ схемой А1->В1 , А2->В2 , Аr->Br(это сист сигма) где все элем коды Вi имеют одинаков длину .кажд слово Аi из мн-ва{А1А2…Аi}имеет вид 1, 2, …, .

Пусть такое слово кодируется словом β1β2…βl код В1В2…Вl поступает в канал связи на котор воздейств источник помех. Источник помех такой что на выходе мы получаем код β’1β’2…β’l однозначно восстановить код сообщ на входе β1β2…βl и тем самым восстановить исх сообщ альфа1, альфа2, …, альфа-н.Если это возможно, то код назыв самокорректирующимся отно-но данного источн помех.

Пусть альфа i принадлеж {0,1}, i=1,m, βj принадлежит{0,1}, j=1,l , т.к. альфа i принадлеж {0,1}, βj принадлежит{0,1}, то для β’1β’2…β’l возможны (l+1) вариантов β’1β’2 = { β’1β’2…β’l ; β’1(c чертой)β’2…β’l ; β’1β’2(c чертой)…β’l ; β’1β’2…β’l(c чертой) } пусть l=m+k для того чтобы (l+1) вариант можно было закодировать должно выполн усл : альфа в степени m меньше либо равно двух в степени l, делённое на (l+1). Рассм простроение кодов Хэмминга , обнар ошибки и восстановл исх сообщ.

1. построение кодов Хэмминга

Определ 7.7 Члены βi у кот инд i принадлеж {2⁰, 2¹, 2²,…,2^k-1} назыв контрольными, остальные – информационными.

Вначале строим информационные члены β3=альфа1, β5=альфа2, β6=альфа 3, β7=альфа4…(*)

Контрольные члены запис по сл правилу : β1= β3+ β5+ β7+…(mod2), где суммирован ведётся по ранее постр членам, у кот в двоичной записи индекса посл разрядом явл 1. β2= β3+ β6+ β7+…(mod2), β4= β5+ β6+ β7+…(mod2).

1	2	3	4	β1	Β2	Β3	Β4	Β5	Β6	Β7
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	1
0	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	1	0	0	0	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Пример. Постр код Хэмминга для m=4.Это значит , исх код имеет длину 4:альфа1,…, альфа4 . Наименьшее l, удовл условию 2^m≤2/(l+1)=7 поэтому код сообщ имеет длину 7: β1… β7. У этого кода контрольными членами явл β1, β2, β4, остальные – информац.постоим код с помощью таблицы.

Вначале заполн столбцы с инф членами по указ ранее правилу (*). Теперь запиш конрольн члены по ранее сформ правилу

2.обнаружение ошибки в кодах Хэмминга

пусть при передасе кода β1β2…βl произошла ошибка в S-ом разряде. Пусть кроме того двоичной записью числа S явл запись Sк Sк-1… S2 S1 тоогда поскольку ошибка произошла в S –ом разряде, то на выходе мы получаем код β’1β’2…β’l такой что β’1= β1… β’s= βs. Тогда № разряда S= Sк Sк-1 …S2 S1 вычисляется по сл правилу.

S1= β’1+ β’3+ β’5+ β’7+…(mod2)

S3=β’4+ β’5+ β’6+ β’7+…(mod2)

Пример. Пусть для постр нами табл кода при передаче кода 0110011 в результате воздействия ист на канал связи произошло искажение 5-го разряда и на выходе мы получ 0110111. Вычислим по только что указ правилу № разряда в кот произошла ошибка.

S1=0+1+1+1(mod2)=1

S2=1+1+1+1(mod2)=0

S3=0+1+1+1(mod2)=1 таким образом S3 S2 S1= 101, что в переводе в десят сист означ что S=5

3)декодирование, т.е. восстановление исх сообщ

Декодиров происходит по ранее указ правилу: β3=альфа1, β5=альфа2, β6=альфа 3, β7=альфа4…(*)

Пример. Если в рассм примере после исправл мы получ код 0110011, то исходное сообщ имело вид 1011.

Замечание. Если S=0, то это означает что при передаче кода ошибки не было.