
- •Формулы логики высказываний и логики предикатов
- •Равносильность в логике высказываний и влогике предикатов
- •Тавтологии
- •Понятие предиката. Кванторы
- •Нормальные формулы логики предикатов
- •Языки. Аксиомы. Правила вывода
- •Вывод. Вывод из гипотез
- •Теорема Дедукции. Следствия
- •Примеры выводимых формул
- •Непротиворечивость ив
- •Полнота ив
- •Правило суммы, произведения
- •Размещения и сочетания
- •Бином Ньютона
- •Разбиение. Полиномиальная теорема
- •Булевы функции
- •Формулы. Равносильность формул
- •Метод рекуррентных соотношений
- •Решение линейных рекуррентных соотношений
- •Понятие производящей функции
- •Интуитивное понятие алгоритма
- •Машины Тьюринга. Вычислимые функции
- •Рекурсивные функции
- •Алгоритмически неразрешимые проблемы
- •Нумерации машин Тьюринга
- •Критерии эффективности алгоритма
- •Полиномиальные и неполиномиальные алгоритмы
- •Основные понятия теории графов
- •Маршруты, цепи, циклы
- •Виды графов
- •Способы задания графов
- •Эйлеровы графы
- •Геометрическая реализация графов
- •Деревья. Лес.
- •Остовное дерево
- •Важнейшие числовые характеристики графов
- •Основные понятия теории кодирования
- •Критерий однозначности алфавитного кодирования
- •Алгоритм распознавания однозначности кодирования
- •Коды Хэмминга
- •Понятие множества
- •Операции над множествами. Свойства
- •Формулы включения и исключения.
-
Алгоритм распознавания однозначности кодирования
Пусть дано алфавитное кодирование со схемой (Σ).Для кажд элем кода В рассм все возножные разложения этого элементарн кода
Вi=В’Вi1Вi2…ВiкВ’’ (*)-разложение элем кода В1по другим элем кодам, где В’В’’- слова отлич от элемент кодов
Через A обозначим мн-во сост из 1)пустого слова (˄(), 2)слов В кот в разлож вида (*) встречаются как в форме префикса ,так и в форме не префикса
Затем на плоскости каждому элем мн-ва А поставим в соотв вершину, после этого для каждого разлож вида (*) на плоскости проведём отрезок от вершины соотв В’к вершине соотв B’’на самой стрелке запишем внутреннюю часть разлож (*). Получим граф, обознач через Г (Σ). Отметим что граф Г(Σ) явл ориентированным
Теорема 7.4 Декодирование невозможно граф Г(Σ) содержит ориетиров цикл проходящ через вершину –ᴧ–
-
Коды Хэмминга
Здесь мы рассм равном
кодиров. Пусть дан алфавит Ӓ и пусть
S(Ӓ)
мно-во слов{А1А2…Аi}в
алфав Ӓ, имеющ одинаков длину m,
тогда равном кодиров определ схемой
А1->В1 , А2->В2 , Аr->Br(это
сист сигма) где все элем коды Вi
имеют одинаков длину .кажд слово Аi
из мн-ва{А1А2…Аi}имеет
вид
1,
2, …,
.
Пусть такое слово кодируется словом β1β2…βl код В1В2…Вl поступает в канал связи на котор воздейств источник помех. Источник помех такой что на выходе мы получаем код β’1β’2…β’l однозначно восстановить код сообщ на входе β1β2…βl и тем самым восстановить исх сообщ альфа1, альфа2, …, альфа-н.Если это возможно, то код назыв самокорректирующимся отно-но данного источн помех.
Пусть альфа i принадлеж {0,1}, i=1,m, βj принадлежит{0,1}, j=1,l , т.к. альфа i принадлеж {0,1}, βj принадлежит{0,1}, то для β’1β’2…β’l возможны (l+1) вариантов β’1β’2 = { β’1β’2…β’l ; β’1(c чертой)β’2…β’l ; β’1β’2(c чертой)…β’l ; β’1β’2…β’l(c чертой) } пусть l=m+k для того чтобы (l+1) вариант можно было закодировать должно выполн усл : альфа в степени m меньше либо равно двух в степени l, делённое на (l+1). Рассм простроение кодов Хэмминга , обнар ошибки и восстановл исх сообщ.
1. построение кодов Хэмминга
Определ 7.7 Члены βi у кот инд i принадлеж {20, 21, 22,…,2k-1} назыв контрольными, остальные – информационными.
Вначале строим информационные члены β3=альфа1, β5=альфа2, β6=альфа 3, β7=альфа4…(*)
Контрольные члены запис по сл правилу : β1= β3+ β5+ β7+…(mod2), где суммирован ведётся по ранее постр членам, у кот в двоичной записи индекса посл разрядом явл 1. β2= β3+ β6+ β7+…(mod2), β4= β5+ β6+ β7+…(mod2).
|
|
|
|
β1 |
Β2 |
Β3 |
Β4 |
Β5 |
Β6 |
Β7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Вначале заполн столбцы с инф членами по указ ранее правилу (*). Теперь запиш конрольн члены по ранее сформ правилу
2.обнаружение ошибки в кодах Хэмминга
пусть при передасе кода β1β2…βl произошла ошибка в S-ом разряде. Пусть кроме того двоичной записью числа S явл запись Sк Sк-1… S2 S1 тоогда поскольку ошибка произошла в S –ом разряде, то на выходе мы получаем код β’1β’2…β’l такой что β’1= β1… β’s= βs. Тогда № разряда S= Sк Sк-1 …S2 S1 вычисляется по сл правилу.
S1= β’1+ β’3+ β’5+ β’7+…(mod2)
S3=β’4+ β’5+ β’6+ β’7+…(mod2)
Пример. Пусть для постр нами табл кода при передаче кода 0110011 в результате воздействия ист на канал связи произошло искажение 5-го разряда и на выходе мы получ 0110111. Вычислим по только что указ правилу № разряда в кот произошла ошибка.
S1=0+1+1+1(mod2)=1
S2=1+1+1+1(mod2)=0
S3=0+1+1+1(mod2)=1 таким образом S3 S2 S1= 101, что в переводе в десят сист означ что S=5
3)декодирование, т.е. восстановление исх сообщ
Декодиров происходит по ранее указ правилу: β3=альфа1, β5=альфа2, β6=альфа 3, β7=альфа4…(*)
Пример. Если в рассм примере после исправл мы получ код 0110011, то исходное сообщ имело вид 1011.
Замечание. Если S=0, то это означает что при передаче кода ошибки не было.