27. Полиномиальные и неполиномиальные алгоритмы

Df.1.: Алгоритм наз полиномиальным, если время его выполнения=О(n^k). Если же время выполнения алг. не подаётся такой оценке, то алг. наз. экспоненциальным или не полиномиальным.

Зам: Полиномиальные алгоритмы считаются хорошими, экспоненциальные-плохими.

Это связано с тем, что экспоненциальный алгоритм заключается по сути в переборе всех возможных вариантов решения. Такие задачи называются переборными. Класс всех переборных задач обозначается через NP, а класс переборных задач, разрешимых за полиномиальное время – через Р. Очевидно, что Р содержит в себе NP.

В 1971г. был поставлен вопрос: совпадают ли классы Р и NP. Этот вопрос является главным для всей дискретной математики и ответа на него пока нет.

Df.2.: Говорят, что переборная задача П₁ сводится к переборной задаче П₂, если метод решения задачи П₂ можно преобразовать в метод решения задачи П₁.

Df.3.: Сводимость наз полиномиальной, если подобное преобразование можно выполнить за полиномиальное время.

В классе NP выявлены так называемые,NP – полные или универсальные задачи, к которым полиномиально сводится любая задача из класса NP. Доказано, что, если хотя б 1-ой NP- полной задачи будет найден полиномиальный алгоритм, то это означало бы, что P=NP, но пока ни одного такого алфавита ни для одной NP – полной задачи не найдено. Зачем программисту нужно знать об NP –полных задачах? Если для какой-то задачи установлено её NP – полнота, то не следует тратить силы и время на построение эффективного алгоритма для этой задачи, поскольку никому ещё не удалось это сделать. Замечание: Многие специалисты считают, что гипотезу P=NP нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

28. Основные понятия теории графов

Df.1.:Графом G=(V,E) наз. совокупность не пустого мн-ва. V и множ. E состоящ. из пар элементов мн-ва. V.

Зам.:Граф удобно изображать на плоскости при этом элементы множ. V на плоскости соотв. вершины,а элементам множ. E линии,соединяющие соотв. вершины.

Df.2.:Если пары во множестве E явл. не упорядоченными,то граф наз. неориентированным ,элем. множ.-ва V наз. вершинами,а элем. мн.-ва E-ребрами.

Df.3.:Если пары во множ. E явл. упорядоченными,то такой граф наз. ориентированным или орграфом,элем. множ.-ва V-вершинами,элем.множ. E-дугами.

Замеч.:В дальнейшем под графом будем понимать не ориентирован. граф.

Df.4.:Ребро вида(v_i,v_i)наз. петлёй.

Df.5.:Граф,имеющий петли наз. псевографом.

Df.6.:Кратным наз. одинаковые рёбра.

Df.7.:Граф ,имеющий кратные рёбра наз. мультиграфом.

Df.8.:Граф без петель и кратных рёбер наз. простым.

Df.9.:Пусть дано ребро е=(v_i,v_j),тогда:

1.вершины v_i,v_j наз. смежными; 2.вершины v_i,v_j наз. концами ребра E;

3.вершины v_i,v_j наз. инцедентными ребру Е; 4.ребро Е наз. инцедентным вершинам.

Df.10.:Степенью вершины наз. количество рёбер инцедентных данной вершине.

Df.11.:Вершина,степень котор. =0 наз. изомерованной.Вершина,степень котор. =1 наз. висячей.

Теор.1.:Сумма степеней всех вершин графа без петель равна удвоенному числу рёбер.

Д-во:Т.к. в графе нет петель,то каждое ребро,сумму степеней всех вершин графа даёт две единицы,в следствие чего и получаем требуемое утверждение.

Следств.:В кажд. графе без петель колич.-во вершин нечётной степени чётно.