1. Формулы логики высказываний и логики предикатов

Df. 1.2: 1. Всякие символ, обозначающий высказывание является формулой.

2. Символы 1 и 0 являются формулами.

3. Если А – формула, То Ā – так же является формулой.

4. Если А и В – формулы, то следовательно выражения : (АᴧВ), (АᴠВ), (А→В),(А↔В) – так же являются формулами.

5. Формулами являются только те выражения, которые можно получить с помощью пунктов 1-4.

Зам.: В формулах, получаемых по определению 1.2, содержится слишком много скобок. Некоторые из них можно опустить, придерживаясь следующим соглашением об опускании скобок. Операции по силе своего действия располагаются в следующем порядке: ¯, ᴧ,ᴠ,→,↔. Исходя из этого, скобки опускаются таким образом, чтобы после их восстановления получить исходную формулу.

Df. 2.6:

1. Каждая формула логики высказываний является формулой(логики предикатов).

2. Каждый символ, обозначающий предикат, является формулой.

3. Если А – формула, то Ā (A), (A) - тоже являются формулами.

4. Если А и В – формулы, то след выражения тоже явл формулами: , , ), .

5. Других формул нет.

Зам: Будем поддерживаться тех же правил об опускании скобок, что и ранее, учитывая только то, что кванторы связывают сильнее операции логики высказываний.

Df. 2.7: В формулах (А) и (A) формула А наз. областью действия кванторов всеобщности и существования соответственно.

Df. 2.8: Вхождение переменной в формулу называется связным, если эта переменная следует за знаком квантора или находится в области действия от этой переменной.

Df. 2,9: Вхождение переменной, не являющейся связной, называется свободным.

Зам: Значение формулы зависит от переменных трех видов:

1. Логическая(обозначающие произвольные предикаты);

2. Предикатная(обозначающая произвольные предикаты);

3. Свободная.

Тогда, подставляя на места переменных их значения будем получать истинное значение формулы.

Df. 2.10: Формула А называется выполнимой на множестве М, если имеется хотя бы один набор значений переменных из М, на котором формула М принимает значение «1».

Df. 2.11: Формула называется выполнимой, если имеется множество, на котором она выполнима.

Df. 2.12: Формула называется тождественно истинной на мн. М, если на наборе значений переменных из М она принимает значение «истинна».

Df. 2.13: Формула называется логически общезначимой, если она тождественно истина на множестве.

Зам: Логически общезначимыми являются тавтологии. Кроме того имеются логически общезначимые формулы присущие только логике предикатов. Например: (х)→(х).

Df. 2.14: Формула называется логическим противоречием, если она тождественно ложна на множестве.

2. Равносильность в логике высказываний и влогике предикатов

Df. 1.3: Пусть даны формулы А,В. Пусть – совокупность букв, входящих хотя бы в 1-ну из формул: А,В. Тогда формулы А и В называются равносильными, если на наборе значений эти формулы принимают одинаковые истинные значения. В этом случае пишут АВ.

Зам: Как следует из определения для выяснения того, являются ли две формулы равносильными, надо сравнить значения этих формул на каждом наборе значении букв, входящих в эти формулы. Такое сравнение удобно проводить по таблице истинности.

Список основных равносильностей:

		A	0
		A
			1
			0
	B

Зам: Пользуясь имеющимися равносильностями формулы можно преобразовывать к более простому или некоторому специальному виду.

Замечание: Отношения равносильности обладает след св-вами:

1. Рефлексивность: ф-лы А вып.

2. Симметричность: ф-л А,В вып. если , то

3. Транзитивность: ф-л А,В,С вып. если , то

Сл-но: отношение равносильности является отношением эквивалентности. Оно разбивает мн-во всех ф-л на непересекающиеся классы такие, что: 1. ф-лы из одного класса равносильны. 2. Никакие 2 ф-лы из разных классов не явл. равносильными.

Df 2.15: Формулы А и В называются равносильными на мн. М, если на наборе значений переменных из М эти формулы принимают истинные значения. В этом случае пишут: А.

Df.2.16: Формулы А и В называются равносильными, если они равносильны на любом множестве. В этом случае пишут: : А.

Зам: Равносильности логики высказываний остаются в силе и для логики предикатов. Кроме того имеются равносильности, присущие только логике предикатов.

23.

24,

25.

26. ᴠ

27. Где А

28. не

29. содержит

30. х

31.

32.

33.

34.

35.

36.

Зам: Пользуясь имеющимися равносильностями, формулы можно преобразовывать к более простому или к некоторому специальному виду.