3. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
3.1. Основные определения
При качественном рассмотрении процессов в нелинейных системах удобно использовать геометрическое представление, основанное на понятии фазового пространства. Термин фаза обозначает стадию, состояние рассматриваемого процесса. Поэтому вместо фазового пространства можно говорить о пространстве состояний.
Фазовое пространство – это пространство в прямоугольной системе координат Xi, которыми являются величины, определяющие состояние системы. В общем случае у системы n-го порядка таких координат будет n. Ими могут быть, например, выходная величина системы и ее (n 1) производных, n выходных величин отдельных звеньев системы или других связанных с ними переменных, которые в совокупности полностью определяют состояние системы. Для системы второго порядка фазовое пространство двухмерное, т. е. представляет собой фазовую плоскость, а для систем третьего порядка фазовое пространство представляет собой трехмерное геометрическое пространство. При более высоком порядке n это соответственно n-мерное пространство.
Состоянию системы в каждый момент времени, определяемому значениями ее n координат, соответствует определенная точка фазового пространства. Эта точка называется изображающей точкой. На рис. 3.1, где для наглядности показано трехмерное фазовое пространство, она обозначена M(t).
При изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Фазовая траектория дает полное представление о характере процесса в системе, кроме его временной оценки, поскольку время здесь из рассмотрения исключено.
54
|
|
Рис. 3.1. Фазовое пространство |
Если |
в |
качестве координат взять отклонения xi Xi Xiуст |
величин |
Xi |
от их значений Xiуст соответствующих некоторому |
установившемуся режиму системы, то этому режиму будет соответствовать равенство нулю всех xi, т. е. начало координат фазового пространства. В этом случае для оценки устойчивости системы надо знать, как при t перемещается изображающая точка относительно начала координат. Для линейных систем в случае устойчивой системы все фазовые траектории асимптотически стягиваются в начало координат, а в случае неустойчивой – уходят в бесконечность.
Геометрические построения в пространстве значительно менее наглядны, нежели построения на плоскости. Поэтому наибольшее практическое применение имеют методы построения фазовых траекторий на плоскости, когда система имеет второй порядок. При этом фазовую плоскость с нанесенными на нее траекториями называют фазовым портретом системы. Фазовый портрет определяет все возможные движения системы и служит наглядным изображением ее динамических свойств.
3.2. Основные виды фазовых траекторий линейных систем второго порядка
Рассмотрим фазовые траектории линейной системы второго порядка. Система второго порядка имеет две независимые
55
переменные – текущее значение координаты x1 и производную от этой координаты по времени x2 dx1/dt. Фазовый портрет такой системы изображается на плоскости, имеющей две координатные оси
(рис. 3.2).
Рис. 3.2. Фазовая плоскость
При x2 0 координата x1 возрастает, при x2 0 – убывает. Следовательно изображающая точка будет двигаться, вращаясь вокруг начала координат фазовой плоскости по часовой стрелке. При x2 0 фазовые траектории пересекают ось x1 под прямым углом, т. к. в этих точках координата x1 имеет экстремум. Между собой фазовые траектории пересекаются только в особых точках. Особыми точками называются точки, соответствующие состоянию равновесия системы, например x1 0, x2 0.
Пусть переходный процесс в некоторой линейной системе описывается дифференциальным уравнением второго порядка
|
d2x |
a |
dx |
a |
|
|
x 0. |
(3.1) |
||||
|
dt2 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 dt |
|
2 |
|
|
|
|
||||
Введем обозначение для скорости изменения отклонения |
||||||||||||
управляемой величины y dx/dt. |
Тогда |
уравнение системы |
(3.1) |
|||||||||
преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
a y a |
2 |
x; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2) |
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
56
Исключим из уравнений (3.2) время t, разделив первое из них на второе (при x 0 и y 0):
dy |
a |
a |
|
x |
. |
(3.3) |
dx |
|
|||||
1 |
|
2 y |
|
Решение y (x) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (x, y), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.
Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе при любых начальных условиях.
Сделаем в последнем уравнении замену переменных y zx. Дифференцируя это выражение, имеем
dy |
z x |
dz |
. |
(3.4) |
dx |
|
|||
|
dx |
|
На основании двух последних дифференциальных уравнений (3.3) и (3.4) получаем уравнение с разделяющимися переменными
zdz |
|
dx |
. |
z2 a1z a2 |
|
||
|
x |
Разлагая знаменатель левой части на множители, находим
zdz |
|
dx |
, |
(3.5) |
(z p1)(z p2) |
|
|||
|
x |
|
где p1 и p2 – корни характеристического уравнения
p |
2 a p a |
2 |
0. |
(3.6) |
|
1 |
|
|
Вид семейства фазовых траекторий зависит от типа корней p1 и
p2.
Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (3.6) соответствуют корни характеристического уравнения
|
|
a |
a2 |
|
|
|
|
||
p |
|
1 |
|
1 |
a |
2 |
α jω |
(3.7) |
|
2 |
4 |
||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
причем возможны шесть случаев:
1) корни чисто мнимые a1 0, a2 0 (колебательная граница устойчивости линейной системы);
57
2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части a12 4a2, a1 0, a2 0 (устойчивая линейная система);
3)корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a12 4a2, a1 0, a2 0 (неустойчивая линейная система);
4)корни вещественные отрицательные a12 4a2, a1 0, a2 0 (устойчивая линейная система);
5)корни вещественные положительные a12 4a2, a1 0, a2 0 (неустойчивая линейная система);
6)корни вещественные и имеют разные знаки при a2 0
(неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет
равен нулю при a2 0 |
(апериодическая |
граница |
устойчивости |
||||||||
линейной системы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай 1. В первом случае p1 jω и p2 |
jω получаются, как |
||||||||||
известно, незатухающие колебания (рис. 3.3, а) |
|
|
|
||||||||
x Asin(ωt β), |
y |
dx |
ωAcos(ωt β), ω |
|
, |
(3.8) |
|||||
a2 |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||
с постоянной амплитудой A и начальной фазой β, которые зависят от |
|||||||||||
начальных условий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения фазовых траекторий принимают вид |
|
|
|
||||||||
|
zdz |
|
dx |
. |
|
|
|
(3.9) |
|||
|
z2 ω2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
Интегрируя это уравнение, находим
1ln(z2 ω2) ln x C. 2
Обозначая постоянную C ln(ωA) получаем уравнение семейства эллипсов
x |
2 |
|
y |
2 |
1. |
(3.10) |
|
A2 |
(ωA)2 |
||||||
|
|
|
Для фазовой плоскости уравнения (3.8) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями A и ωA (рис. 3.3, б). Уравнение эллипса можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (3.3) при a1 0 и
a2 ω2, причем A – произвольная постоянная интегрирования.
58
а |
б |
Рис. 3.3
Итак, периодическим колебаниям системы (рис. 3.3, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой
(рис. 3.3, б).
Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями), как известно, имеют место затухающие колебания (рис. 3.4, а)
x Ae t |
sin(ωt β), |
|
y |
dx |
γAe αt |
cos(ωt β δ), |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
α |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
α |
1 |
, |
ω a2 |
|
|
1 |
|
|
, γ |
|
a2 , |
δ arctg |
|
, |
|||
|
2 |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|||
а произвольные постоянные A и β определяются из начальных |
|||||||||||||||||
условий: |
x x0, |
y y0 |
x0 |
при t 0. |
|||||||||||||
|
|
|
а |
б |
Рис. 3.4
59
Значения x и y не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (x, y) кривую (рис. 3.4, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку M0, а подходит ближе к началу координат.
Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 3.4, а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 3.4, б).
Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис. 3.5, а). Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траектории тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 3.5, б).
а б
Рис. 3.5
Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу
x C e α1 t |
C |
e α2 t, |
y |
dx |
α C e α1 t |
α |
2 |
C |
e α2 t, (3.11) |
|
|
||||||||||
1 |
2 |
|
|
dt |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
α1,2 a1 a12 a2.
2 4
На рис. 3.6, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (x, y) это изобразится кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 3.6, б), так как в первом варианте все время x 0 и y 0, а во втором варианте
60
знаки x и y меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые y α1x и y α2x, получающиеся из уравнений (3.11) соответственно при α2 0 и при α1 0 (обращение одного из корней в нуль).
а б
Рис. 3.6
В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат 0 фазовой плоскости. Однако изображающая точка M не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.
Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.
Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (3.5), но при α1 0 и α2 0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 3.7.
61
а б
Рис. 3.7
Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (3.11) (рис. 3.8, а), где α1 и α2 имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная.
Так как a2 0, то введем обозначение α2 a2, причем для простоты построений рассмотрим случай a1 0, что соответствует согласно
(3.1) уравнению системы dy α2x 0 и согласно (3.3) – уравнению dt
фазовых траекторий
dy |
α |
2 |
x |
. |
(3.12) |
dx |
|
y |
|||
|
|
|
|
Интегрирование последних аналогично случаю 1 дает
x |
2 |
|
y |
2 |
1, |
|
C2 |
(αC)2 |
|||||
|
|
т. е. семейство гипербол, изображенное на рис. 3.8, б.
Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные на рис. 3.8, б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку dy/dx (3.12).
62
а |
б |
|
Рис. 3.8 |
Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при a1 0.
Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 3.7, б или типа рис. 3.8, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.
Особые точки. В точках, которые соответствуют
установившемуся |
состоянию, |
|
получаем |
согласно |
(3.3) |
|||||
неопределенное выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
a |
a |
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|||||
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
т.е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них:
а) особые точки типа точки 0 на рис. 3.3, б называются центрами;
б) особые точки типа точки 0 на рис. 3.4, б называются устойчивыми фокусами;
в) особые точки типа точки 0 на рис. 3.5, б называются неустойчивыми фокусами;
г) особые точки типа точки 0 на рис. 3.6, б называются устойчивыми узлами;
д) особые точки типа точки 0 на рис. 3.7, б называются неустойчивыми узлами;
е) особые точки типа точки 0 на рис. 3.8, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).
63