4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Выше звено было определено как математическая модель элемента системы управления. Вообще же звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны
|
b pm |
b pm 1 |
b |
|
p b |
|
||
W(p) |
0 |
1 |
m 1 |
|
m |
. |
(4.1) |
|
a pn |
a pn 1 |
|
p a |
|
||||
|
a |
n 1 |
n |
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
Но всегда их можно представить как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго.
Из курса алгебры известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители – множители вида
k p, (c p c |
2 |
), |
(c p2 |
c |
2 |
p c ). |
(4.2) |
1 |
|
1 |
|
3 |
|
Поэтому передаточную функцию (4.1) можно представить как произведение простых множителей вида (4.2) и простых дробей вида
k |
, |
k |
, |
|
|
k |
|
. |
(4.3) |
|
c1p c2 |
c p |
2 |
c |
|
||||
p |
|
p c |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 3 |
|
|
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей (4.2) или простых дробей (4.3), называют типовыми или элементарными звеньями.
4.1. Пропорциональное звено, его частотные и переходные характеристики
Пропорциональным (безынерционным или статическим) называют звено, которое описывается уравнением
y(t) ku(t)
или, что то же, передаточной функцией
W(p) k.
Частотные и временные функции этого типового звена имеют
вид:
W( jω) k, U(ω) k, V(ω) 0, A(ω) k,
(ω) 0, L( ) 20lgk, h(t) k1(t), w(t) δ(t).
78
а |
б |
в |
Рис. 4.1
На рис. 4.1 представлены некоторые из характеристик пропорционального звена. Амплитудно-фазовая частотная характеристика W( jω) есть точка на действительной оси (рис. 4.1, а); фазовая частотная характеристика (ω) совпадает с положительной полуосью частот; логарифмическая амплитудная частотная характеристика L(ω) (рис. 4.1, б) параллельна оси частот и проходит на уровне L(ω) 20lgk. Переходная характеристика (рис. 4.1, в) параллельна оси времени и проходит на уровне h(t) k.
4.2. Интегрирующее и дифференцирующее звенья, их частотные и переходные характеристики
4.2.1. Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением
py(t) ku(t)
или передаточной функцией
W(p) k . p
Уравнение этого звена может быть записано также в виде
t
y(t) k u(t)dt y0.
0
Таким образом, выходная величина этого звена пропорциональна интегралу от входной величины, чем и объясняется название звена. Коэффициент передачи интегрирующего звена k
имеет размерность с 1.
79
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W( jω) k j k . jω ω
Остальные частотные и временные функции имеют вид:
U(ω) 0, V(ω) |
k |
, |
A( ) |
k |
, ( ) |
π |
, |
|
|
2 |
|||||
|
ω |
|
ω |
|
|||
L(ω) 20lgk 20lgω, |
h(t) kt, w(t) k. |
|
|
а |
б |
в |
|
Рис. 4.2 |
|
АФЧХ интегрирующего звена |
(рис. 4.2, а) совпадает |
с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис. 4.2, б) параллельна оси частот и проходит на уровне π/2: сдвиг фазы не зависит от частоты и равен π/2.
ЛАЧХ (рис. 4.2, б) – наклонная прямая, проходящая через точку с координатами ω 1 и L(ω) 20lgk . Как видно из уравнения L(ω) 20lgk 20lgω, при увеличении частоты на 1 декаду ордината
L(ω) уменьшается на |
20 дБ. |
Поэтому |
наклон |
ЛАЧХ равен |
20 дБ/дек (читается: |
минус |
двадцать |
децибел |
на декаду). |
Действительно, при увеличении частоты ω на декаду, т. е. в 10 раз,
L(10ω) 20lgk 20lg10ω 20lgk 20lgω 20lg10.
Таким образом, величина L(ω) уменьшилась на 20lg10, т. е. на
20 дБ.
Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k (рис. 4.2, в).
80
4.2.2. Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением
y(t) kpu(t) k du(t) dt
или передаточной функцией
W(p) kp.
Таким образом, в соответствии с названием выходная величина такого звена пропорциональна производной от входной величины. Коэффициент передачи дифференцирующего звена k измеряется в секундах.
Частотные и временные функции имеют вид:
W( jω) jkω, U(ω) 0, V(ω) kω, A(ω) kω,
(ω) |
π |
, |
L(ω) 20lgk 20lgω, |
h(t) δ(t), |
w(t) |
d δ(t) |
. |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
dt |
а |
б |
Рис. 4.3 |
|
АФЧХ дифференцирующего звена |
(рис 4.3, а) совпадает |
с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис. 4.3, б) параллельна оси частот и проходит на уровне (ω) π2: сдвиг фазы не зависит от частоты и равен π2.
ЛАЧХ есть прямая, проходящая через точку с координатами ω 1 и L(ω) 20lgk и имеющая наклон 20 дБ/дек (читается: плюс двадцать децибел на декаду): L(ω) увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.
Передаточная функция и соответственно частотные характеристики дифференцирующего звена являются обратными передаточной функции и характеристикам интегрирующего звена.
81
Данное дифференцирующее звено является идеальным звеном, его невозможно реализовать, так как не выполняется условие физической реализации n m, где n – порядок полинома знаменателя; m – порядок полинома знаменателя передаточной функции. Для рассмотренного дифференцирующего звена: n 0,
а m 1.
4.3. Апериодическое и форсирующее звенья, их частотные и переходные характеристики
4.3.1. Апериодическое звено. Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением
(Tp 1)y(t) ku(t) |
(4.4) |
или передаточной функцией
W(p) k . Tp 1
Это звено также называют инерционным звеном или инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от вышерассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W( jω) |
k |
. |
(4.5) |
|
|||
Tjω 1 |
|
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим
U(ω) |
k |
|
, V(ω) |
kTω |
. |
(4.6) |
(Tω)2 1 |
|
|||||
|
|
(Tω)2 1 |
|
Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.
Так как модуль числителя АФЧХ (4.5) равен k, а модуль знаменателя Tω2 1,то
A(ω) |
|
k |
. |
|||
|
|
|
|
|||
(Tω)2 1 |
||||||
|
|
|
82
Аргумент числителя W( jω) равен нулю, а аргумент знаменателя arctgωT. Поэтому
(ω) argW( jω) arctgωT.
Согласно АЧХ
|
L(ω) 20lg A(ω) 20lgk 20lg |
(Tω)2 1. |
(4.7) |
|
Решив |
дифференциальное |
уравнение |
(4.4) при |
u(t) 1(t) |
и нулевом |
начальном условии |
y(0) 0, |
получим переходную |
|
функцию |
|
|
|
|
t
h(t) k(1 e T ).
Весовая функция
t
w(t) h(t) k e T . T
АФЧХ апериодического звена (рис. 4.4, а) есть полуокружность, в чем нетрудно убедиться, исключив из параметрических уравнений (4.6) АФЧХ частоту.
а |
б |
в |
Рис. 4.4
ЛАЧХ представлена на рис. 4.4, б. На практике обычно ограничиваются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия на том же рис. 4.4, б). Только в критических случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на выводы, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ, если воспользоваться следующей зависимостью разности L между асимптотической и точной ЛАЧХ (табл. 4.1).
83
Таблица 4.1
Tω |
|
0,10 |
0,25 |
0,40 |
|
0,50 |
|
1,0 |
2,0 |
2,5 |
|
4,0 |
10 |
L |
|
0,04 |
0,25 |
0,62 |
|
0,96 |
|
3,0 |
0,96 |
0,62 |
|
0,25 |
0,04 |
|
Частоту |
ω1 1 T , |
при |
которой |
пересекаются |
асимптоты, |
называют сопрягающей частотой. Точная и асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличаются при сопрягающей частоте; отклонение при этой частоте примерно равно 3 дБ.
Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид
20lgk при ω ω1, L(ω)
20lgk 20lgTω при ω ω1.
Оно получается из (4.7), если в нем под корнем при ω ω1 пренебречь первым слагаемым, а при ω ω1 – вторым слагаемым.
Согласно полученному уравнению асимптотическую ЛАЧХ
можно |
строить |
следующим образом: на уровне |
L(ω) 20lgk до |
||||||
частоты |
ω ω1 |
провести прямую параллельно оси частот, а далее |
|||||||
через точку с координатами |
ω ω1 и |
L(ω) 20lgk – прямую под |
|||||||
наклоном 20 дБ/дек. |
|
|
|
|
|
T и k |
|||
По |
АФЧХ |
или ЛАЧХ легко определить параметры |
|||||||
апериодического звена (см. рис. 4.4). |
4.4, б. |
|
|
|
|||||
ЛФЧХ |
изображена |
на |
рис. |
Эта |
характеристика |
||||
асимптотически стремится к нулю при ω 0 |
и к π/2 при ω . |
||||||||
При 1 |
фазовая частотная функция принимает значение π/4: |
||||||||
(ω1) π/4. |
ЛФЧХ |
всех |
апериодических |
звеньев |
имеют |
одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо одной характеристике параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени T. Поэтому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно воспользоваться единым шаблоном или номограммой.
Переходная характеристика апериодического звена (см. рис. 4.4, б) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней можно определить параметры: передаточный коэффициент, равный установившемуся значению h( ); постоянную времени, равную значению времени, соответствующему точке пересечения касательной к характеристике в начале координат с ее асимптотой
(см. рис. 4.4, в).
84
Величина постоянной времени T определяет инерционность звена: чем она больше, тем более длительным является переходный процесс в звене. Хотя теоретически время нарастания экспоненты h(t) равно бесконечности, практически за длительность переходного процесса принимают время, которое прошло от начала процесса до момента, когда выходная величина достигла 95% ее конечного установившегося значения. Для апериодического звена это время равно 3T .
Если можно пренебречь инерционностью апериодического звена, т. е. принять в его уравнении T 0, получим пропорциональное звено.
4.3.2. Форсирующее звено. Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением
y(t) k(Tp 1)u(t)
или передаточной функцией
W(p) k(Tp 1).
Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W( jω) k(Tjω 1).
Остальные частотные и временные функции имеют вид:
U(ω) k, V(ω) kTω, A(ω) k(Tω)2 1,
(ω) arctgTω, L(ω) 20lgk 20lg(Tω)2 1, h(t) k[Tδ(t) 1(t)], w(t) k[Tδ(t) δ(t)].
АФЧХ (рис. |
4.5, а) есть прямая, |
параллельная мнимой оси |
и пересекающая |
действительную ось |
в точке U(ω) k . ЛАЧХ |
изображена на рис. 4.5, б. Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия). Частоту ω1 1T , соответствующую точке излома этой характеристики, называют сопрягающей частотой.
85
а б
Рис. 4.5
Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена имеет
вид
20lgk |
при ω ω1, |
|
|
L(ω) |
|
|
|
20lgk 20lgTω при ω ω1. |
|
|
|
Асимптотическая ЛАЧХ |
при ω ω1 параллельна оси |
частот |
|
и пересекает ось ординат при L(ω) 20lgk , а при |
ω ω1 |
имеет |
|
наклон 20 дБ/дек. |
|
|
|
ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена и для ее построения можно воспользоваться теми же шаблоном и номограммой, которыми пользуются для построения последней.
Передаточная функция форсирующего звена W(p) k(Tp 1) может быть представлена суммой передаточных функций пропорционального и дифференцирующего звеньев. Так же, как и дифференцирующее звено, форсирующее звено в идеальном виде не может быть реализовано.
4.4. Динамические звенья второго порядка, их частотные и переходные характеристики
Динамическое звено второго порядка, которое можно описать уравнением
(T02 p2 T1p 1)y(t) ku(t)
или в другой форме
(T2 p2 2 Tp 1)y(t) ku(t),
86
где T T0,ξ T1 /2T, или передаточной функцией
k
W(p) T2 p2 2 Tp 1,
называют колебательным, если 0 ξ 1, консервативным, если ξ 0 и апериодическим звеном второго порядка, если 1. Коэффициент
ξназывают коэффициентом демпфирования или степенью затухания.
4.4.1.Колебательное звено. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W(jω) |
|
k |
|
|
|
. |
|
(1 T |
|
||
|
2ω2) j2ξTω |
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции
U(ω) |
|
k(1 T2ω2) |
|
|
|
, V(ω) |
|
2kξTω |
|
. |
|||||||||
(1 T2ω2)2 (2ξTω)2 |
(1 T2ω2)2 |
(2ξTω)2 |
|||||||||||||||||
Фазовая |
частотная |
функция, |
|
|
как |
это |
видно |
из АФЧХ |
|||||||||||
(рис. 4.6, а), |
изменяется |
монотонно |
от |
0 до |
π |
и |
выражается |
||||||||||||
формулой |
|
|
|
2ξTω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
при ω 1/T, |
|
|
|
|||||||||
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 T |
2 |
ω |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(ω) |
|
|
|
|
2ξTω |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
π arctg |
|
|
|
при ω 1/T. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 T |
ω |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛФЧХ (рис. 4.6, б) при 0 асимптотически стремится к оси частот, а при – к прямой π. Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования.
Амплитудная частотная функция
k
A(ω)
(1 T2ω2)2 (2ξTω)2
и логарифмическая амплитудная функция
L(ω) 20lgk 20lg |
(1 T2ω2)2 (2ξTω)2. |
(4.8) |
|
|
87 |