РАЗДЕЛ 5
Двойственное пространство. Сопряженный оператор
Пусть X – линейное пространство (вещественное или комплексное). Предположим, что в пространстве X выбран некоторый базис e = fe1; : : : ; eng. Рассмотрим произвольные линейный функционал f 2 L(X; C) и вектор x 2 X, x = x1e+ + xnen. Значение функционала f на векторе x равно
f(x) = f(x1e1 + + xnen) = x1f(e1) + + xnf(en):
При этом набор чисел f'1 := f(e1); : : : ; 'n := f(en)g однозначно определяет линейный функционал f. Эти числа '1; : : : ; 'n называются коэффициентами линейного функционала (линейной формы) в базисе e.
Выясним, как коэффициенты ('1; : : : ; 'n) линейного функционала f меняются при переходе от одного базиса к другому. Пусть переход от базиса e = fe1; : : : ; eng в котором f ('1; : : : ; 'n) к базису e0 = fe01; : : : ; e0ng осуществляется при помощи матрицы перехода S = ( jk). Тогда при j = 1; : : : ; n
'j0 := f(ej0 ) = f |
n |
rjer |
|
n |
n |
rj'r: |
r=1 |
= r=1 |
rjf(ej) = r=1 |
||||
|
X |
|
X |
X |
||
Из этого следует, что если обозначить через (f)e строку коэффициентов линейной формы f в базисе e, то
(f)e0 = (f)eS:
5.1. Двойственное пространство и двойственный базис
Рассмотрим линейное пространство X = L(X; C) всех линейных функционалов на линейном пространстве X. Напомним, что если f; g 2 X , а ; 2 C, то отображение ( f + g) : X ! C определяется соотношением ( f + g)(x) = f(x) + g(x), x 2 X.
Определение. Линейное пространство X называется двойственным (сопряженным или дуальным) пространством к пространству X.
Как было показано выше, при заданном базисе e = fe1; : : : ; eng пространства X имеет место взаимно однозначное соответствие : f 7!('1; : : : ; 'n) между линейными функционалами на X и вектор-строками из n элементов. Заметим, что из правил сложения функционалов и умножения функционалов на числа вытекают следующие свойства этого отображения. Пусть f; g 2 X и пусть (f)e = ('1; : : : ; 'n), а
(g)e = ( 1; : : : ; n). Тогда
(f + g)e = ('1 + 1; : : : ; 'n + n);
а для любого 2 C имеет место
( f)e = ( '1; : : : ; 'n):
Из полученный равенств вытекает, что отображение задает изоморфизм линейных пространств X и Cn (рассматриваемого как пространство вектор-строк) и, следовательно, dim X = dim X = n.
Рассмотрим набор вектор-строк j = ( j;1; : : : ; j;n) при j = 1; : : : ; n такой, что
j;k = |
0; |
j 6= k |
|
1; |
j = k; |
56
5.1. ДВОЙСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО И ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС |
57 |
и введем набор линейных функционалов e1; : : : ; en определенных в базисе fe1; : : : ; eng этими координатными строками. Непосредственное вычисление показывает, что для этих функционалов верны соотношения
ej(ek) = jk;
где jk – символ Кронекера. При этом для любого вектора x = x1e1 + + xnen имеем
nn
XX
ej(x) = xkej(ek) = |
xk j;k = xj: |
k=1 |
k=1 |
Так как вектор-строки j, j = 1; : : : ; n линейно независимы, то и функционалы ej, j = 1; : : : ; n, рассматриваемые как элементы пространства X , будут линейно независимыми. Таким образом нами установлено следующее утверждение.
Теорема 5.1. Пусть X – n-мерное линейное пространство (n 2 N). Тогда двойственное пространство X также имеет размерность n. Если e = fe1; : : : ; eng – ба-
зис в X, а e1; : : : ; en – такие линейные функционалы, что ej(ek) = jk, то fe1; : : : ; eng
– базис в X .
Определение. Базис fe1; : : : ; eng пространства X (см. формулировку теоремы 5.1) называется двойственным (дуальным или сопряженным) базисом для данного базиса fe1; : : : ; eng пространства X.
Выясним смысл “двойственности”, содержащейся в понятии двойственного базиса. Во-первых заметим, что между базисами в X и X установлено взаимно-однозначное соответствие (которое каждому базису ставит с соответствие соответствующий сопряженный базис). Во вторых заметим, что выражение f(x), где f 2 X , а x 2 X, допускает двоякую трактовку. При фиксированном f – это линейный функционал на X, а при фиксированном x – линейный функционал на X . Отталкиваясь от этого, запишем выражение f(x) – значение функционала f на векторе x в виде hfjxi, смысл этой записи будет ясен чуть позднее. Символ “вертикальной черты” применяется для того, чтобы отличить эту запись от скалярного произведения векторов так как в выражении h j i первым аргументом должен быть линейный функционал (т.е. элемент множества X ), а вторым аргументом – элемент x 2 X. Заметим, что выражение h j i определяет отображение X X ! C, линейное по каждому аргументу, т.е.
h f + gjxi = hfjxi + hgjxi; hfj x + yi = hfjxi + hfjyi |
(5.1) |
при всех f; g 2 X , x; y 2 X, ; 2 C. |
|
Определение. Пусть V и W – линейные пространства. Отображение декартова произведения V W = f(v; w) : v 2 V; w 2 Wg в C (или в R), линейное по каждому из двух своих аргументов называют спариванием (происходит от английского слова paring) между пространствами V и W.
Спаривание между X и X определенное соотношением hfjxi := f(x), f 2 X ,
x 2 X называется каноническим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим теперь произвольные элементы f |
2 X |
и x |
2 X |
по двойственным базисам |
|||||
fe1; : : : ; eng и fe1; : : : ; eng соответственно: |
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
f = '1e1 + + 'nen; |
x = x1e1 + + xnen: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
n |
n |
|
|
n |
|
X |
X X |
|
XXk |
|
X |
||||
f(x) = |
'jej(x) = 'j |
xkej(ek) = |
|
|
xk'jej(ek) = |
xj'j: |
|||
j=1 |
j=1 |
k=1 |
|
j=1 |
=1 |
|
|
j=1 |
|
Заметим также, что координаты ('1; : : : ; 'n) линейного функционала f 2 X в базисе fe1; : : : ; eng и координаты (x1; : : : ; xn) вектора x 2 X в базисе fe1; : : : ; eng, сопряженном
5.2. СЛУЧАЙ ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА |
58 |
к fe1; : : : ; eng, могут быть вычислены по формулам
xk := hekjxi |
|
|
и |
'k := hfjeki |
(5.2) |
||
соответственно. В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
hekjxi = |
ek |
n |
|
|
|
n |
|
j=1 xjej |
= j=1 xjhekjeji = xk; |
|
|||||
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
hfjeki = |
|
|
j |
ek |
|
j |
|
j=1 'je |
|
= j=1 'jhe jeki = 'k: |
|
||||
|
X |
|
|
|
X |
|
|
Формулы (5.2) также можно рассматривать как проявление свойства двойственности базисов fe1; : : : ; eng и fe1; : : : ; eng.
Пример 5.2. Пусть n = Spanf1; t; : : : ; tng – пространство многочленов степени, не выше n. Отображение f : P 7!P ( ), ставящее многочлену P 2 n его значение в точке 2 R является, очевидно, линейным функционалом на пространстве n. Можно показать, что совокупность функционалов f при 2 f 0; : : : ; ng, где 0; : : : ; n – различные точки из R, является линейно независимой. Следовательно, она является
базисом в n.
Другой пример базиса в n можно получить рассмотрев семейство линейных функционалов fk : P 7!aP (k)( ), где a 2 R и 2 R – некоторые фиксированные параметры, а k = 0; 1; : : : ; n. Проверка линейной независимости функционалов fk оставляется в качестве несложного упражнения.
Можно проверить, что набор функционалов fk0 : P 7!P (k)(0)=k! образует базис в
n, двойственный к базису f1; t; : : : ; tng в n, а набор функционалов fk : P 7!P (k)( )=k! при k = 0; 1; : : : ; n образует базис в n, двойственный к базису f1; (t ); : : : ; (t )ng в пространстве n.
5.2.Случай эрмитова пространства
Вэтом разделе X – n-мерное эрмитово пространство с (эрмитовым) скалярным произведением h ; i. Рассмотрим сопряженное пространство X . Так как dim X = n и dim X = n, то X и X изоморфны как линейные пространства.
Построим специальный изоморфизм между X и X следующим образом: элементу x 2 X поставим в соответствие линейный функционал f 2 X такой, что f(y) = hy; xi (напомним, что в силу Теоремы 4.17 функционал f определяется таким вектором x единственным образом). Этот изоморфизм естественно назвать каноническим (или естественным) изоморфизмом между X и X .
Пусть fe1; : : : ; eng – ортонормированный базис в X, т.е. скалярные произведения базисных векторов равны hej; eki = jk. В этом случае линейные функционалы ej( ) = h ; eji, j = 1; : : : ; n, определяемые векторами базиса fe1; : : : ; eng, будут образовывать базис, двойственный к базису fe1; : : : ; eng. В самом деле, ej(ek) = hek; eji = kj. Для построенного базиса fe1; : : : ; eng будет использоваться обозначение be, где e = fe1; : : : ; eng
– исходный ортонормированный базис.
Далее, для произвольного вектора x 2 X определим вектор x следующим образом: если (x1; : : : ; xn)> – координатный столбец вектора x в рассматриваемом (ортонормированном базисе), то вектор x = x1e1 + xnen (черта, как обычно, означает комплексное сопряжение). Таким образом, если X – вещественное пространство, то векторы x и x совпадают.
Напомним, что каноническим спариванием между пространствами X и X является спаривание hfjxi = f(x). Из доказательства Теоремы 4.17 вытекает, что оно задается формулой
hfjxi = hx; fi;
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. РЕФЛЕКСИВНОСТЬ |
|
|
|
59 |
где |
f |
2 X |
|
, |
x |
2 X, а |
f |
2 X – такой вектор, что его координаты |
относительно базиса |
|||
|
|
|
|
1 |
|
n |
g. |
|||||
fe1; : : : ; eng совпадают с координатами элемента f относительно базиса fe |
; : : : ; e |
|
||||||||||
5.3. Рефлексивность
Напомним, что если dim X = n, то dim X = n. Следовательно, на основании теоремы об изоморфизме конечномерных линейных пространств одинаковой размерности, пространства X и X изоморфны. В силу аналогичных соображений изоморфными будут также пространства X и X = (X ) . На первый взгляд кажется, что пространство X – это пространство весьма экзотической природы. В самом деле, оно состоит из линейных функционалов на пространстве линейных функционалов на X. Но, как оказывается, между пространствами X и X существует весьма простая и естественная связь. Эта связь устанавливается следующей теоремой.
Теорема 5.3. Отображение " : X ! X , определяемое следующим образом
"(x) = "x; "x(f) = f(x); |
x 2 X; f 2 X ; "x 2 X ; |
является изоморфизмом. Оно называется каноническим (или естественным) изоморфизмом между пространствами X и X .
Доказательство. Линейность " проверяется непосредственно исходя из его определения. В самом деле, если x; y 2 X, а ; 2 C, то для любого линейного функционала f 2 X имеет место цепочка равенств
" x+ y(f) = f( x + y) = f(x) + f(y) = "x(f) + "y(f) = ( "x + "y)(f):
Проверим теперь биективность отображения ". Выберем в пространствах X и X двойственные базисы fe1; : : : ; eng и fe1; : : : ; eng соответственно. Тогда
"ej (ek) = ek(ej) = kj:
Используя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 5.1 получим, что X = Spanf"e1 ; : : : ; "en g, т.е. набор элементов f"e1 ; : : : ; "en g образует ба-
зис в X , двойственный к базису fe1; : : : ; eng в пространстве X . Из этого вытекает как сюръективность, так и инъективность отображения ".
Замечание. Построенный в Теореме 5.3 изоморфизм " назван естественным (каноническим) в силу того, что он не зависит от выбора конкретного базиса.
Определение. Свойство линейный пространств, состоящее в том, что между пространствами X и X существует естественный изоморфизм носит название
рефлексивность.
Замечание. Как было установлено в этом разделе, конечномерные линейные пространства рефлексивны. Однако это, в общем случае, не так для бесконечномерных пространств. Соответствующие примеры будут изучены в курсе функционального анализа.
Рефлексивность позволяет отождествить пространства X и X . При этом уже пространство X можно понимать как пространство линейных функционалов на X . При таком понимании формулы спаривания приобретают симметричный вид x(f) = hfjxi = f(x), где в первом равенстве элемент x рассматривается как элемент X , а в последнем – как элемент X.
Из теоремы 5.1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 5.4. Если пространство X рефлексивно, то для любого базиса в X существует однозначно определенный двойственный ему базис в X.