студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Используя теорему Стокса для вывода теоремы о циркуляции в форме (4.12), мы, между прочим, доказали еще одно важное ее свойство: несущественно, каким именно образом линии тока пересекают контур — они могут пересекать его под любым углом, быть может, «вперед–назад», образуя токовые петли и т. д. Все это учитывается интегралом и никак не сказывается на формуле (4.10). В нее входит только заряд, в единицу времени пересекающий любую поверхность, натянутую на контур, а как это происходит — не имеет значения.

Поскольку уравнения (4.3), (4.10), (4.12) линейны, для век-

тора напряженности магнитного поля справедлив принцип суперпозиции — поле суммы токов равно сумме полей каждого

из них. Это справедливо и для действующего поля , но лишь в вакууме или в линейной среде. Например, в ферромагнетиках принцип суперпозиции не работает — и не только для , но и для , ввиду нетривиальности граничных условий.

В качестве примера вычисления магнитного поля с помощью теоремы о циркуляции рассмотрим длинный цилиндрический соленоид, по обмотке которого протекает ток : (рис. 4.2). В отличие от тонкого кольца с током, поле внутри соленоида оказывается практически одномерным и параллельным его оси. Это следует из симметрии задачи, но может быть прямо выведено из закона Био и Савара при следующих условиях:

а) диаметр катушки должен H

ной, т. е. диаметр провода должен быть равен шагу намотки, в противном случае мы правильно определяем поле только для расстояний от стенок соленоида, много б´ольших зазора между витками.

Иногда об этих условиях забывают. Другим примером «забывчивости» является популярное, но неправильное утверждение о том, что поле вне такого соленоида равно нулю. На самом деле оно такое же, как и у прямого провода:

G 2 + ,

где — расстояние от оси (превышающее радиус катушки). Это следует из аксиальной симметрии задачи и теоремы о циркуляции. В самом деле, как уже говорилось выше, току безразлично, каким образом пересекать натянутую на контур интегрирования поверхность, важно лишь, что он пересекает ее один раз. Для

дальнейшего существенно, что силовые линии лежат в плоскости, перпендикулярной оси системы.

Определим поле внутри соленоида. Проведем любую плоскость через его ось и построим в этой плоскости прямоугольный контур , как показано на рисунке. Одна из длинных сторон прямоугольника расположена вне катушки; поле к ней перпендикулярно, и вклад ее в циркуляцию равен нулю. Две боковых стороны мы с самого начала выбираем малыми и в дальнейшем устремляем к нулю, поэтому их вкладом также можно пренебречь. Остается длинная сторона внутри катушки. Пусть плотность намотки (число витков на единицу длины соленоида) равна . Если ! — полное число витков, а — длина соленоида, то !. Ток : пересекает контур столько раз, сколько витков он захватывает, т. е. . Теорема о циркуляции (4.10) принимает вид простого соотношения

G :,

откуда окончательно следует

Сколь бы ни были подробны наши рассуждения (которые при известном опыте попросту опускаются), довольно очевидно, что вывод этой хрестоматийной формулы оказался намного проще, чем если бы мы пользовались напрямую законом Био и Савара.

Рассмотрим еще один пример, ответ в котором будет чисто качественным, но принципиально важным для всей физики магнитных полей. Рассмотрим стационарную токовую конфигурацию, изображенную на рис. 4.3, — кольцевой ток, охватывающий

жат на оси. Силовые линии витка с током лежат, как известно, в плоскости, проходящей через ось. Это замкнутые линии неправильной формы, охватывающие виток, — картина, хорошо известная из школьного курса физики. (Лишь одна из них незамкнута и совпадает с осью; для нас она в данном случае неинтересна.) При попытке сложить эти два поля, следуя принципу суперпозиции, окажется, что результирующая силовая линия навивается на некоторую тороидальную поверхность и целиком на

должен браться по поверхности всех проводников, где, однако, " 0, а потому равен нулю и весь интеграл. Таким образом,

0

Но тогда имеет место следующее соотношение (см. предыдущий параграф):

2 2 ,

так что мы можем заменить левую часть в уравнении Пуассона (4.16) для вектор-потенциала:

Сравнивая этот результат с дифференциальной формой теоремы

Мы имеем возможность еще раз убедиться в различной векторной природе электрического и магнитного полей. Если стати-

ческое электрическое поле представимо как градиент некоторой скалярной функции (такие поля называют потенциальными),

то магнитное поле в вакууме есть ротор некоторой векторной функции. Поля такого рода принято называть соленоидальными.

Скалярный электрический потенциал определен, как и потенциальная энергия, с точностью до константы. Произвол в определении вектор-потенциала больше: поскольку ротор градиента любой скалярной функции тождественно равен нулю, то и величина определена с точностью до B, где B — произвольная скалярная функция. Наблюдаемой же (измеряемой) величиной остается поле , т. е. ротор вектор-потенциала. Мы не будем, однако, углубляться в этот вопрос, потому что данное выше определение (4.15)–(4.17) вполне корректно и для целей нашего курса достаточно.

4.4.Магнитный диполь. Понятие

омагнитном моменте

На первый взгляд, из закона Био и Савара (4.3) следует спадание магнитного поля на бесконечности, аналогичное закону Кулона 2 . Для некоторых вырожденных ситуаций мы и в самом деле можем в случае электро- и магнитостатики получить ответы, функционально тождественные. Так, электрическое поле однородно заряженного длинного провода и магнитное поле длинного провода с током, хотя и различаются геометрией, зависят от радиуса по одному закону 1 . Но в общем случае между ними существует принципиальное различие. Если уеди-

заряды только одного сорта и чтобы усреднения по объему не требовалось. В то же время усреднение по времени необходимо ввиду дискретности носителей заряда (в сущности, само понятие постоянного либо квазистационарного тока неявно подразумевает такое усреднение). Следуя логике этой замены, мы можем интегрирование в (4.15) заменить суммированием по дискретным зарядам, что в данном случае будет удобнее,

4

'

а затем, в соответствии с рис. 4.4 б, представим ' в виде

4.4 ] Магнитный диполь. Понятие о магнитном моменте 257

векторной суммы ' ', где все ' . Тогда

Первый член этой разности есть не что иное, как усредненная по времени временн´ая производная полного дипольного момента

Неважно, чему он равен и по какому закону меняется. Важно, что система совершает финитное движение и любая величина, характеризующая ее состояние, изменяется в конечных пределах, а поэтому при усреднении по достаточно большому промежутку времени ее производная стремится к нулю. Пусть — такая величина, а > — характерное время эволюции системы.

Нам еще не один раз придется воспользоваться этим результатом. Обратимся ко второму члену разности, принимая во внимание, что 1 3:

щая нуль при усреднении, поэтому, говоря о средних по времени значениях, можно приравнять левую часть второму члену в правой. Сделаем это в выражении (4.19), введя, соответственно, коэффициент 1 2:

9 Основы физики. Т. I

Итак, мы видим, что в теории магнитных полей дипольное приближение базируется на понятии вектор-потенциала — полезно сравнить выражения (1.24) и (4.22). Мы ввели понятие магнитного диполя и теперь можем для удобства считать его «точечным». В этом случае, т. е. при вычислении поля на расстояниях, существенно б´ольших пространственного масштаба токовой конфигурации, последняя характеризуется единственным векторным параметром . Для вычисления поля воспользуемся формулой (4.23). Предварительно проведем операцию векторного дифференцирования в общем виде. Пусть — некоторый постоянный вектор, тогда

rot , ,

В нашем случае 1 , поэтому 2 1 0, потому что это уравнение Пуассона для потенциала точечного заряда при 0 (впрочем, это можно проверить и прямым вычислением). Таким образом,

Этот результат оказался идентичным формуле (1.25), в особенности если мы, имея в виду уже отмеченную перекрестную аналогию, перепишем последнюю для электрической индукции, т. е. просто умножим на <0. Для справки отметим, что мы ввели т. н. амперовский магнитный момент; иногда вместо него используют кулоновский магнитный момент, отличающийся коэффициентом

10 4$.

В отличие от электрического диполя, простейший магнитный диполь представляет собой тонкий замкнутый виток с током (рис. 4.4 а). Для вычисления его дипольного момента построим цепочку, обратную той, которую мы использовали при выводе формулы (4.18):