- •Введение
- •Дифференцирование векторных величин
- •1. Кинематика поступательного
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
9. Агрегатные состояния и фазовый переход
9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Поведение реальных газов довольно хорошо описывается уравнением Менделеева-Клайперона, т.е. уравнением состояния идеального газа:
, (9.1)
только при не слишком высоких давлениях и достаточно высоких температурах.
С повышением давления и уменьшением температуры наблюдается значительное отступление от этого уравнения, т.е. с повышением давления поведение реальных газов отклоняется от поведения газов идеальных. Например, рассмотрим произведение pV для массы азота, занимающей при нормальных условиях объем, равный одному литру. В соответствии с уравнением (9.1) pV при неизменной температуре должно оставаться постоянным. В действительности, как видно из таблицы, при повышении давления наблюдаются заметные отклонения от постоянства pV, которые достигают 100% при Р=1000 атм.
-
Р, атм
pV, атмV
1
1,000
500
1,390
1000
2,069
Графическая зависимость произведения давления на объем реального газа при увеличении давления для кислорода представлена на рис.9.1. Для идеального газа подобная зависимость выражается прямой линией, параллельной оси абсцисс.
рV
идеальный газ
400 1000 р, ат
Рис.9.1
|
Рассматривая график, мы видим, что реальный газ при увеличении давления перво-начально сжимается больше, чем это следует из уравнения идеальных газов, так что произведение pV уменьша-ется с возрастанием давления. При дальнейшем увеличении давления начинают сказы-ваться какие-то иные свойства молекул реальных газов, в силу которых произведение |
pV возрастает. Причины подобных отклонений заключаются в следующем:
1) большую сжимаемость реального газа по сравнению с идеальным газом обуславливают силы межмолекулярного взаимодействия; молекулярное сцепление приводит к возникновению как бы добавочного давления, возрастающего при увеличении плотности газа;
2) наблюдаемое при высоких давлениях уменьшение сжимаемости и соответствующее возрастание произведения pV объясняется тем, что реальные молекулы не являются материальными точками, а обладают некоторым конечным объемом.
По мере увеличения давления возрастает плотность газа, а вместе с ней возрастает влияние собственного объема молекул – газ оказывает большее сопротивление сжатию, чем это следует из уравнения Клайперона.
Уравнение состояния реального газа было предложено впервые голландским физиком Ван-дер-Ваальсом (1837-1929) и носит его имя. Уравнение Ван-дер-Ваальса отличается от уравнения Клайперона наличием двух поправочных членов, один из которых учитывает влияние собственного объема молекул, а другой – влияние сил молекулярного притяжения.
Рассмотрим подробнее каждый из этих поправочных членов.
Рассчитаем поправку на недоступный объем. Молекула идеального газа, заключенная в некотором сосуде, может находиться в любой его точке и для нее доступен весь объем сосуда V.
Молекула реального газа не может находиться в тех местах сосуда, где расположены остальные (N-1)-молекул и ей доступна лишь часть всего объема, равная (V-b), где b - объем, недоступный для молекул. Для подсчета этого недоступного объема будем считать, что в газе происходят только двойные соударения молекул. Для каждой пары взаимодействующих молекул недоступной является та часть объема, в которой расстояние между их центрами равно d, где d - диаметр молекулы, т.е. сфера с объемом 4/3d3. Из N-молекул может быть образовано пар. Следовательно, полный недоступный объем для всех молекул равен
.
На каждую из N -молекул приходится
, т.е. .
С учетом введенной поправки уравнение состояния реального газа примет вид
при T=const p(V-b)=const.
График этой зависимости изображен на рис.9.2
p
b V Рис.9.2 |
Изотермы p(V-b)=const имеют вид гипербол, у которых давление безгранично возрас-тает при Vb. Рассчитаем поправку на «внутреннее давление» (точнее на влияние сил межмоле-кулярного притяжения). Сила давления газа на стенку сосуда – есть результат многочислен ных столкновений молекул с |
твердой поверхностью. Поэтому давление идеального газа прямо пропорционально концентрации молекул n в слое, прилежащем непосредственно к стенке:
n = N/V.
Так как между молекулами газа действуют силы притяжения, то давление уменьшается на величину p. Поскольку силы взаимодействия очень быстро убывают с расстоянием, то практически следует учитывать притяжение первого слоя лишь одним соседним слоем (рис.9.3). Сила этого притяжения, рассчитанная на единицу площади, пропорциональна концентрации молекул в обоих слоях:
.
Обозначим коэффициент пропорциональности , тогда
. Обозначим N2=a, тогда p=a/V2. Вид коэффициента a зависит от конкретного строения взаимодействующих молекул, т.е. от природы газа. Объединяя вторую поправку с первой, мы можем записать
или |
Рис.9.3 |
- уравнение Ван-дер-Ваальса.
В этом уравнении V - объем, занимаемый m -граммами газа. Поскольку при выводе уравнения был сделан целый ряд упрощений, на него следует смотреть как на приближенное уравнение состояния реального газа.
Вычисленные с помощью уравнения Ван-дер-Ваальса значения давления газа, достаточно точно совпадает с опытом лишь при относительно высоких температурах и только в некотором интервале давлений.