8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа

Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Если сообщение телу количества тепла dQ повышает его температуру на dT, то теплоемкость по определению равна

.

Величина С имеет размерность С=Дж/К.

Теплоемкость моля (или киломоля) вещества называется молярной теплоемкостью. Обозначим ее буквой С. Размерность ее С=Дж/кмольК.

Между молярной и удельной теплоемкостями имеется соотношение

.

Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме или при постоянном давлении. Если нагревание происходит при постоянном объеме, тело не совершает работы над внешними телами и, следовательно, согласно первому началу термодинамики

dQ = dA + dU,

все тепло идет на приращение внутренней энергии

dA = 0, dQ = dU.

Отсюда вытекает, что теплоемкость любого тела при постоянном объеме равна

.

Следовательно, чтобы получить молярную теплоемкость идеального газа при постоянном объеме, нужно продифференцировать по температуре выражение для внутренней энергии. Для одного моля газа

.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме

;

.

Из этого выражения следует, что теплоемкость идеального газа при постоянном объеме оказывается постоянной величиной, не зависящей от параметров состояния газа, в частности, от температуры. Введя понятие молярной теплоемкости при V=const, можно записать следующее выражение для внутренней энергии идеального газа:

U = C_VT.

Если нагревание газа происходит при постоянном давлении, то газ будет расширяться, совершая над внешними телами положительную работу. Следовательно, для повышения температуры газа на один градус в этом случае понадобится больше тепла, чем при нагревании при постоянном объеме – часть тепла будет затрачиваться на совершение газом работы.

Напишем уравнение первого начала термодинамики для моля газа:

dQ = dU + dA,

учтем, что

dA = pdV;

dQ = dU + pdV.

Разделив на dT, получим выражение для молярной теплоемкости при постоянном давлении:

, .

Слагаемое - молярная теплоемкость при постоянном объеме, поэтому

.

Из уравнения Менделеева-Клайперона для одного моля газа следует, что

pV = RT.

Дифференцируя это выражение по Т, находим, что

.

Учитывая, что , получим

, (8.2)

тогда

C_p = C_V + R.

Для идеального газа молярная теплоемкость при постоянном давлении превышает молярную теплоемкость при постоянном объеме на величину R - универсальную газовую постоянную. Из выражения (8.2) следует, что работа, которую совершает моль идеального газа при повышении его температуры на один градус при постоянном давлении, оказывается равной универсальной газовой постоянной. В этом и заключается ее физический смысл.

Так как ,

то .

Величина отношения , обозначаемая , называется коэффициентом Пуассона:

,

т.е. величина  определяется числом степеней свободы молекул.

Рассмотренная теория теплоемкости является классической. Ее результаты приблизительно верны для отдельных температурных интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число степеней свободы молекулы.

CV 7/2R 3 3 2 2 5/2R 1 1 3/2R 0 T Рис.8.5

Рассмотрим кривую зави-симости молярной тепло-емкости CV от температуры, полученную опытным путем для водорода (рис.8.5). Согласно теории, тепло-емкость не должна зависеть от температуры. Как видно из рисунка, это оказывается справедливым только в пределах отдельных темпера-турных интервалов, причем в

различных интервалах теплоемкость имеет значения, соответствующие различному числу степеней свободы молекулы.

Так на участке 1-1 . Это означает, что молекула ведет себя как cистема, обладающая только поступательными степенями свободы.

На участке 2-2 , следовательно, при температурах, соответствующих этому участку, у молекулы, в дополнение к проявляющимся при более низких температурах, трем поступательным степеням свободы, добавляются еще две – вращательные. Наконец, при достаточно больших температурах , что свидетельствует о наличии при этих температурах колебаний молекулы.

В промежутках между указанными интервалами теплоемкость монотонно растет с ростом температуры, т.е. соответствует как бы переменному числу степеней свободы. Объяснение такого поведения дается квантовой механикой. Как устанавливает квантовая теория, энергия вращательного и колебательного движения молекул оказывается квантованной. Это означает, что энергия вращения и энергия колебания молекулы могут иметь не любые значения, а только дискретные (т.е. отдельные, отличающиеся друг от друга на конечную величину) значения. Следовательно, энергия, связанная с этими видами движения, может меняться только скачками. Что и наблюдается на опыте.

8.4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в газах