6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде

Пусть в течение короткого промежутка времени мы ударом молотка сообщим стержню некоторый импульс (рис.6.21). За это время точки торца стержня сместятся на расстояние . Возникающая деформация будет перемещаться от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времени t сжатие охватит участок стержня . Тогда скорость распространения волны сжатия по стержню .

К концу промежутка времени t все частицы участка стержня будут двигаться со скоростями направо. Поскольку в начале частицы были неподвиж-ны, то приращение коли-

F Рис.6.21

чества движения стержня будет равно mu. Mасса стержня , где - плотность, S - площадь, - длина.

По второму закону Ньютона приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действующей при ударе

. (6.52)

По закону Гука

, (6.53)

где Е – модуль Юнга.

Подставив (6.53) в (6.52), получим

,

откуда ; ,

и скорость распространения волны сжатия будет равна . Для стали, например, =510³м/с.

В случае поперечных волн, т.е. в случае деформации сдвига

,

где G - модуль сдвига и скорость распространения поперечных волн запишется в виде

.

6.6.3. Поток энергии в волновых процессах

Процесс распространения волн в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Пусть  - скорость перемещения фронта волны, S - часть фронта плоской волны, тогда перемещение фронта волны за время t

Обозначим w₀ энергию колебаний в единице объема. Тогда - энергия, переносимая за время t через площадку S. Энергия, переносимая за единицу времени:

.

Величина P=wS называется потоком энергии через площадку S.

Плотность потока энергии, т.е. энергия, проходящая в единицу времени через единицу площади перпендикулярно к направлению распространения волны обозначается I и определяется соотношением .

Так как есть вектор, то плотность потока энергии также является векторной величиной, т.е.

.

Bектор плотности потока энергии называется вектором Умова.

6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн

При решении разных задач по распространению волн приходится находить положение фронта волны в последовательные моменты времени. Достаточно простой метод, позволяющий находить последовательное положение фронта волны, был предложен в конце ХУ11 века Гюйгенсом и получил название принципа Гюйгенса. Согласно этого принципа, каждую частицу среды, до которой дошел фронт волны, можно рассматривать самостоятельным источником волн той же частицы.

Пусть к некоторому времени t фронт плоской волны, двигаясь слева направо, достиг положе-ния 1 (рис.6.22,а). Назовем ее первичной волной. Плоская волна имеет волновую поверх-ность – плоскость. Согласно принципу Гюйген-са, каждая точка среды, находящаяся на этом фронте, становится самостоятельным источником волн. Эти волны в дальнейшем будем называть вторичными волнами. К неко-торому моменту времени (t1+t)

 I I II а) б) Рис.6.22

фронт волны от этих точек удаляется на расстояние, равное t и могут быть представлены в виде окружностей такого радиуса (рис.6.22,б). Огибающая окружностей будет представлять прямую линию II, она определяет положение фронта волны в моменты времени (t₁+t).

R R+t Рис.6.23

Фронт сферической волны представляет собой окружность радиуса R (рис.6.23). Каждая точка этого фронта волны является источником вторичных волн. Построим для ряда источников фронт волны. Огибающая окружностей будет представлять собой окружность радиуса (R+t). В приведенных примерах рассматривается огибающая вто-ричных волн только по направ-лению распространения первич-

ной волны. Так как Френелем было показано, что интенсивность вторичных волн максимальна только в положительном направлении к нормали.

Исходя из этого, рассмотренный принцип называют принципом Гюйгенса-Френеля.

Явление усиления или ослабления интенсивности при наложении когерентных волн называется интерференцией волн. Волны когерентны, если они имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз.

В1 x1 A  К x2 В2 Рис.6.24

Систему когерентных волн можно получить, если на пути сферической волны от точечного источника поставить непрозрачный экран с двумя отверстиями (рис.6.24). Волна может проникнуть за экран только через отверстия В1 и В2. Эти отверстия, согласно принципу Гюйгенса, являются самостоятель-ными источниками колебаний.

Вторичные волны, идущие от отверстий В₁ и В₂, будут когерентными. Справа от экрана будет наблюдаться сложение волн, идущих от отверстий В₁ и В₂. Определим амплитуду результирую-щего колебания в точке К, отстоящую от В₁ на расстоянии x₁ и от В₂ – на x₂.

Запишем законы колебания:

(6.54)

Обозначим , , тогда уравнения (6.54) запишутся в виде

где ₁, ₂ – начальные фазы колебания.

Результирующее колебание будет описываться уравнением

.

Амплитуда колебаний по теореме косинусов будет равна

или

, (6.55)

так как .

Величина , равная разности расстояний, проходимых волнами от источников колебаний до данной точки среды, называется разностью хода волн: =x₂-x₁, а величина =₁-₂ называется сдвигом фаз между интерферирующими волнами. Тогда из (6.45) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит от сдвига фаз между интерферирующими волнами .

Если разность фаз равна четному числу :

=2n;

;

,

то разность хода  равна четному числу полуволн. Согласно (6.55), амплитуда в этом случае достигает максимума и равна

А=А₁+А₂.

Если разность фаз равна нечетному числу :

;

;

,

то разность хода  равна нечетному числу полуволн и наблюдается минимум результирующего колебания:

.

При А₁=А₂ колебания взаимно уничтожаются.

Таким образом, интерференция волн – это явление усиления или ослабления колебаний при наложении когерентных волн.