7.10.2. Закон Стокса

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиусом r в газе. Обозначим скорость шарика относительно газа через ₀. Распределение скоростей, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис.7.15.

r L x 0 Рис.7.15

В непосредственной бли-зости к поверхности шара эта скорость равна 0, а по мере удаления уменьшается и практически становится рав-ной нулю на некотором рас-стоянии L от поверхности. Чем больше радиус шара, тем больше масса газа, вовлеченная им в движение. L должно быть пропор-ционально r:

,

где - коэффициент пропорциональности.

Тогда среднее значение градиента скорости по поверхности шара равно

.

Поверхность шара S=4r² и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

.

Интегрирование уравнений движения вязкой жидкости (газа), проведенное Стоксом, далo для шара значение . Следовательно, сила сопротивления, испытываемая шаром движущимся в вязком газе, прямо пропорционально вязкости газа , радиусу шара r и скорости движения ₀:

.

7.10.3. Теплопроводность газов

Рассмотрим газ, заключенный между двумя параллельными стенками, имеющими различные температуры Т_А и Т_В (рис.7.16). Проведем ось x перпендикулярно к стенкам. Температура промежуточных слоев газа T(x) будет функцией координаты x. При наличии градиента температур через газ в направлении оси x будет идти поток тепла.

Механизм переноса тепла состоит в следующем. Молекулы в разных слоях газа обладают различной средней кинетической энергией, обусловленной разли-чием температур слоев. В силу хаотичности своего движения молекулы будут непрерывно переходить из слоя в слой, перенося в новый слой энергию, которой обладал покидаемый

TА Т1 Т2 TВ s x x Рис.7.16

ими слой. Таким образом, движение молекул газа приводит к перемешиванию молекул, имеющих различные кинетические энергии , т.е. с макроскопической точки зрения к потоку тепла. При подсчете потока тепла введем следующие упрощения:

- будем считать, что молекулы в близких слоях газа, обладающих различными значениями средних энергий , имеют одинаковую среднюю скорость;

- примем, что концентрация молекул n одинакова в соседних слоях газа.

Рассмотрим площадку s, перпендикулярную к оси x. За время t через площадку проходит слева направо молекул. Средняя энергия молекулы соответствует значению в том месте, где они последний раз испытывали столкновение, т.е. на расстоянии длины свободного пробега от площадки s. Обозначим значение температуры в плоскости через Т₁. Тогда для одноатомного идеального газа средняя кинетическая энергия запишется в виде

.

Число молекул, проходящих через площадку s за время t справа налево:

.

Средняя энергия этих молекул

,

где Т₂ – значение температуры в плоскости .

Полный поток энергии Q, проходящей через площадку в положительном направлении оси x, равен разности двух противоположных потоков

;

. (7.43)

Поток тепла через единицу площади в единицу времени обозначим q, т.е.

.

Из выражения (7.43) находим, что

,

где называется градиентом температуры.

Введя обозначение

,

получим окончательное выражение для закона теплопроводности

.

Поток тепла, проходящий через единицу площади за единицу времени, прямо пропорционален градиенту температуры.  - называется коэффициентом теплопроводности. Физический смысл коэффициента теплопроводности определяется следующим образом. Если положить , то =q, т.е. коэффициент теплопроводности показывает количество тепла проходящего через единицу площади соприкасающихся слоев за единицу времени, при градиенте температуры, равном единице. Знак «минус» указывает, что поток тепла направлен в сторону уменьшения температуры.

Средняя энергия всех n–молекул, заключенных в единице объема, равна

.

Если нагреть газ на один градус так, чтобы число его молекул в единице объема оставалось постоянным, т.е. при неизменном объеме, то эта энергия увеличивается до

.

Возрастание внутренней энергии при таком процессе

. (7.44)

Величина представляет собой количество тепла, необходимое для нагревания единицы объема газа на один градус при постоянном объеме, т.е. теплоемкость единицы объема.

Обозначим через с_у удельную теплоемкость газа, т.е. количество тепла, необходимого для нагревания единицы массы газа на один градус. Поскольку масса единицы объема равна его плотности, то

Е_V  Е_V =  с_у . (7.45)

Из выражения (7.44) и (7.45) получаем

и коэффициент теплопроводности запишется в виде

.

Единицу измерения коэффициента теплопроводности получим, подставив в данную формулу единицы измерения соответствующих

величин:

.

Таким образом, коэффициент теплопроводности прямо пропорционален удельной теплоемкости. Это соотношение выведено для одноатомных газов. Можно показать, что оно справедливо и для многоатомных газов.