6.3. Сложение колебаний

6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты

Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается, если изобразить колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким образом схема (рис.6.6) называется векторной диаграммой. Возьмем ось, которую обозначим осью x. Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины А, образующий с осью угол .

Приведем этот вектор во вращение с угловой скоростью . Проекция конца вектора будет перемещаться по оси в пределах от –А до +А. Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону x = A cos(t+).

А О  x Рис.6.6

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание. Амплитуда равна длине вектора, круговая частота – угловой скорости вращения, начальная фаза – углу, который образует вектор с осью в начальный момент времени.

Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания.

Тело может участвовать в нескольких колебаниях одновременно. Например, пружинный маятник, находящийся на корабле, совершает, кроме собственных колебаний, колебания вместе с кораблем на морских волнах.

Исходя из принципа суперпозиции, результирующее смещение тела, участвующее в нескольких колебательных движениях, получается как геометрическая сумма независимых смещений, которые тело приобретает, участвуя в каждом из слагающих колебаний:

.

Положим, тело участвует одновременно в двух гармонических колебательных движениях, происходящих в одном направлении при следующих условиях: ₁=₂= =сonst, ₁₂,, A₁A₂.

Запишем уравнения этих колебаний

x₁ = A₁ cos(t+₁);

x₂ = A₂ cos(t+₂).

Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис.6.7). Результирующее смещение тела, участвующего одновременно в обеих колебаниях, равно сумме проекций x₁ и x₂ на ось x.

x = x₁ + x₂

(21) 2 0 1 x1 x2 x Рис.6.7

Так как векторы и вращаются с одинаковой угло-вой скоростью, то сдвиг фаз между ними (21) остается постоянным. Изображенный на рис.6.7 треугольник вращается как жесткий, его стороны вращаются с той же угловой скоростью, что и векторы и . Следовательно, и результи-рующий вектор вращается с той же угловой скоростью .

Уравнение результирующего колебания запишется в виде

x = A(t+).

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и составляющие колебания.

Из рис.6.7 видно, что амплитуда результирующих колебаний А по теореме косинусов будет равна

.

Так как , то

.

А начальная фаза определяется соотношением

.

Величина амплитуды результирующего колебания зависит от сдвига фаз  = ₂  ₁ составляющих колебаний:

а) если сдвиг фаз (₂₁)=2n, то

= (А₁+А₂)², а результирующая амплитуда А=А₁+А₂. Т.е. при сдвиге фаз, равном четному числу , где n=0,1,2,3…, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний;

б) если сдвиг фаз ₂₁=(2n+1), т.е. нечетному числу , где n=0,1,2,3…, то , . При разности фаз ₂₁=(2n+1), амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд составляющих колебаний. Колебания ослабляют друг друга. При А₁=А₂ тело остается в покое, так как А=0;

в) если сдвиг фаз , где n=0,1,2,3…, то , .