6.6. Волновые процессы

6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и так далее) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ними частицы среды. При этом возникают периодические деформации (сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия. Благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положения равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом, или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом деформаций различают волны продольные и поперечные. Волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называются поперечными.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний, называются продольными.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига и в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде сжатий и разрежений среды. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными. В твердых телах могут распространяться продольные и поперечные волны.

Пусть скорость распространения возмущения в среде равна . Если колебания возмущающей системы происходят по закону

y=Acos t, (6.47)

то точка среды, отстоящая от нее на расстоянии x, колеблется по тому же закону.

Для точки М, находящейся на расстоянии x от точки О, начало колебаний отстает от начала колебаний в точке О на время , где  - скорость распрост-ранения волны (рис.6.18). Таким образом, частицы среды смещаются по закону

y M O x x Рис.6.18

, (6.48)

где y - величина смещения частицы от положения равновесия.

Учитывая, что , а произведение T= - есть длина волны, уравнение (6.48) можно

записать в виде

. (6.49)

Введем в это уравнение сначала волновое число :

, (6.50)

затем учтем, что :

. (6.51)

Уравнения (6.48-6.51) есть различные виды записи уравнения бегущей волны.

Волна характеризуется периодом, частотой, длиной волны, фазовой скоростью, фронтом волны, волновой поверхностью, формой волны.

Период (Т) – промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. Частота ()=1/Т – число колебаний в единицу времени.

Длина волны () – это расстояние, которое проходит волна за один период:

Длина волны – это также расстояние между двумя частицами, испытывающими в один и тот же момент времени одинаковое смещение.

Скорость волны есть скорость распространения в пространстве определенной фазы колебания. Поэтому скорость волны называется фазовой скоростью. Скорость распространения волнового процесса нельзя связывать со скоростью движения материальных частиц среды, в которой распространяется волна.

Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойств среды.

Среда называется однородной, если скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной, если скорость распространения волны одинакова по всем направлениям.

Фронт волны от точечного источника колебаний в однородной изотропной среде имеет вид сферы. Волны при этом называются сферическими.

Если фронт волны представляет собой плоскость, и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Введя понятие фронта волны, можно дать следующее определение длины волны: длина волны – это расстояние, на которое распространяется фронт волны за время, равное периоду колебаний в источнике волны.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Волновые поверхности могут быть сферическими, плоскими или иметь сложную форму, в зависимости от конфигурации источника и свойств среды.

На рис.6.19 представлена волновая поверхность точечного источника света в изотропной среде (а) и в анизотропной среде (б), при этом скорость по направлению АА больше, чем по направлению ВВ, т.е. _АА_ВВ.

B S S  A A B a) б) Рис.6.19

Форма волны – график, показывающий распределение в среде колеблющейся величины, вдоль оси в данный момент времени.

На рис.6.20 изображена форма волны в изотропной среде – синусоидальная (а) и несинусоидальная (б).

Совокупность синусоидальных волн с различными частотами, фазами и амплитудами называется сложной волной. Если элементарные волны всех частот распространяются в ней с одинаковыми скоростями, то среда не обладает дисперсией. Если скорость распространения колебаний в среде различна для различных частот, то среда обладает дисперсией. В среде с дисперсией сложная волна с течением времени изменяет свою форму.

y y

x x

a) б)

Рис.6.20

В уравнении  - фазовая скорость, т.е. скорость, с которой перемещается в среде поверхность, представляющая собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Для некосинусоидальных волн, т.е. сложных волн, фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости волны от частоты называется дисперсией волн. Всякая реальная волна представляет собой наложение – группу бесконечных синусоид (косинусоид), и скорость ее распространения в диспергирующей среде отличается от фазовой скорости слагаемых волн. Скорость распространения реальных волн в диспергирующей среде носит название групповой скорости (u). Групповая скорость и фазовая связаны между собой соотношением

.

Из формулы видно, что групповая скорость тем больше отличается от фазовой , чем больше , т.е. чем сильнее выражена зависимость скорости распространения волн от их длины. При >0 групповая скорость u<, при <0 u>.

Таким образом, групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой. Групповая скорость меньше фазовой, когда >0, т.е. когда более длинные волны распространяются скорее более коротких. Этот случай носит название нормальной дисперсии. Для среды лишенной дисперсии =0 u=, фазовая и групповая скорости совпадают.