7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул

Молекулы газа в каждый данный момент времени будут отличаться друг от друга не только своим местоположением в сосуде. Но и характером своего движения. Каждая молекула будет двигаться со своей скоростью _i, отличающейся от скоростей других молекул по величине и направлению. Если объем, занимаемый газом, неподвижен, то все направления движения молекул равновероятны. Что же касается значений скоростей молекул по величине _i, то различные скорости не равновероятны.

Энергия одноатомного идеального газа Е будет равна сумме кинетических энергий _i всех его N молекул:

.

Сталкиваясь друг с другом, молекулы непрерывно обмениваются энергией и, в принципе, возможно такое состояние газа, когда все его молекулы, за исключением одной, остановятся, а эта последняя будет двигаться с максимально возможной скоростью _max, определяемой из соотношения

.

Однако такое неодновременное распределение молекул по скоростям маловероятно. С наибольшей вероятностью будут осуществляться состояния, при которых энергии различных молекул газа _i будут сравнительно близки друг к другу, и мало отличаться от их среднего значения. Средняя энергия поступательного движения молекул равна

. (7.9)

Величина

представляет собой средний квадрат скорости молекул газа. Извлекая из этой величины квадратный корень, мы получим величину, называемую средней квадратичной скоростью

. (7.10)

Средняя арифметическая скорость молекул газа определяется из соотношения

. (7.11)

Сопоставляя (7.10) и (7.11), легко увидеть, что средняя арифметическая величина скорости не равна средней квадратичной и или

Расчет показывает, что

,

где m - масса одной молекулы.

Значение среднего квадрата скорости и средней квадратичной скорости можно определить, приравняв соотношения (7.7) и (7.9):

.

Отсюда , а .

7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла

Предположим, что мы располагаем способом одновременного определения скоростей N-молекул некоторого количества газа. Изобразим полученные результаты в виде точек на оси . При этом мы получим «моментальную фотографию» скоростей молекул для некоторого момента времени t. Если бы все значения были одинаково вероятны, точки распределялись бы по оси равномерно (рис.7.3)

O x x x x x x x x x x x  Рис.7.3

Однако скорости группируются в основном вблизи некоторого, наиболее вероятного значения. Близкие к нулю и очень большие значения скоростей встречаются сравнительно редко. Поэтому распределение точек по оси  будет неравномерным с плотностью, различной на разных участках оси (рис.7.4).

O x x x x x x x x x x x   Рис.7.4

Отношение числа точек N_, попадающих в пределах интервала , к величине этого интервала, называется плотностью точек ():

.

Если сопоставить ряд фотографий для разных моментов времени, то плотность будет различна. Для газа, находящегося в равновесном состоянии, т.е. для газа с неизменяющимися параметрами, плотность, с которой распределены точки на различных участках оси  для всех моментов времени будет одна и та же.

Если взять несколько порций газа, находящегося в идентичных условиях, то распределение молекул по скоростям будет также идентично. Однако плотность точек по оси  при одинаковом характере распределения по оси, очевидно, пропорциональна количеству молекул N и, следовательно, для различных порций газа будет различна. Одинаковым для различных порций будет соотношение

. (7.12)

Определенная таким образом функция f() характеризует распределение молекул газа по скоростям и называется функцией распределения, где

N_ = f() - число молекул, скорость которых больше , но меньше +;

есть вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей.

Попытаемся найти аналитическое выражение закона распределения молекулярных скоростей. Скорость каждой молекулы изображается вектором. В прямоугольной системе координат вектор скорости  определяется координатами _x, _y, _z (рис.7.5). Очевидно, что эти координаты одновременно будут являться компонентами скорости вдоль выбранных осей координат. Тогда число молекул , составляющие скорости которых больше _x, но меньше _x+_x согласно равенству (7.12), равны

. (7.13)

Отношение есть вероятность для произ-вольно выбранной молекулы обладать скоростью, лежащей в указанном интервале. Рассуждая аналогично, можно написать выражение вероятности для молекул обладать составляющей скорости

z z x x y y Рис.7.5

вдоль оси y, большей _y и меньшей _y+_y:

. (7.14)

Вероятность составляющей скорости вдоль оси z, заключенной в пределах от _z до _z+_z:

. (7.15)

Из теории вероятности известно, что вероятность совместного осуществления трех независимых событий равна произведению их вероятностей. Поэтому вероятность для молекулы обладать скоростью, компоненты которой заключены в пределах от _x, _y, _z, до (_x+_x), (_y+_y), (_z+_z) найдется перемножением 3-х вероятностей (7.13), (7.14) и (7.15):

. (7.16)

Допустим, что нижний предел скорости =const, в этом случае

;

_x_x+_y_y+_z_z = 0.

Допустим также, что

_x_y_z = const.

При выполнении этих предположений должна оставаться неизменной и вероятность того, что молекула обладает скоростью, удовлетворяющей сформулированным выше требованиям. Если это так, то

, (7.17)

. (7.18)

Подставив в равенство (7.17) равенство (7.16) и учитывая (7.18), получим

Разделим полученное уравнение на произведение функций f(_x)f(_y)f(_z), получим

. (7.19)

Умножим выражение (7.17) на произвольную величину , сложим с уравнением (7.19), сгруппируем члены в соответствии с индексами у  и получим

.

В силу произвольности величин d_x, d_y, d_z написанное уравнение может выполняться в том случае, если каждый из стоящих в скобках двучленов порознь равен нулю, т.е.

; (7.20)

; (7.21)

. (7.22)

Обозначим f(_x,)=y, тогда и (7.20) перепишется в виде

.

После интегрирования

имеем

,

где А – постоянная интегрирования. Потенцируя данное выражение, получим

.

Таким образом, искомое выражение вероятности того, что скорость молекулы в направлении оси x, заключенной в пределах от _x до _x+_x будет равна

.

Аналогичные выражения можно получить из (7.21) для вероятности того, что скорость молекулы вдоль оси y заключена в пределах от _y до _y+_y и из (7.22) для вероятности того, что скорость молекулы в направлении оси z заключена в пределах от _z до _z+_z.

Вероятность совместного события найдется перемножением соответствующих вероятностей, т.е.

.

Если в этом выражении заменить и определить значение постоянных, то вероятность того, что молекула движется независимо от направления со скоростью, заключенной в пределах от  до +, будет выражаться следующим соотношением

, (7.23)

где m - масса, k - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Учитывая, что , из (7.23) получим

. (7.24)

Это выражение и является искомым законом распределения молекулярных скоростей Максвелла.

Таким образом, конкретный вид функции распределения зависит от рода газа (массы молекул) и от температуры. Давление газа и объем на распределение молекул по скоростям не влияют. Графическое изображение закона распределения Максвелла, представленном на рис.7.6.

f()   + вер Рис.7.6

Из графика видно, что f() функция распределения стремится к нулю при 0 и . Следовательно, относительное число молекул в газе, обладающее очень малыми и очень большими скоростями ничтожно мало. Скорость, отвечающая макси-мальному значению функции распределения, будет, очевидно, наиболее вероятной.

Для нахождения максимума функции f() продифференцируем выражение (7.24), заменяя через :

;

и, приравняв к нулю ,

получим

.

Значение , обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое _вер:

.

Вычисления показывают, что

, ,

поэтому .

При возрастании температуры средняя скорость и наиболее вероятная скорость _вер увеличиваются пропорционально , и максимум распределения сдвигается вправо (рис.7.7). При этом число медленных молекул убывает, а число быстрых – возрастает. Но площадь под кривой, равная полному числу всех молекул газа , остается постоянной. Необходимо подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия, справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии.

Закон справедлив для любого числа , если только это число достаточно велико.

Закон Максвелла – статистический закон, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики.

f() T2T1 T1 T2 0  Рис.7.7

Обратим внимание еще на следующие обстоятельства. При каждом столкновении молекул в газе изменяется не только направление, но и величины скоростей обеих сталкиваю-щихся молекул. Скорости одних молекул при этом увели-чиваются, других – умень-шаются. Но число молекул, ско-

рость которых лежит в любом определенном интервале скоростей , не меняется.

Если в результате столкновений в единицу времени n молекул, обладавших скоростью в интервале , изменяют свою скорость, то ровно столько же молекул, обладавших ранее другими скоростями, приобретут в результате столкновений скорость в пределах .

Раз установившееся максвелловское распределение по скоростям в дальнейшем сохраняется. Более того, как показал Больцман, в результате взаимодействия между молекулами, каким бы ни было исходное распределение скоростей, в конце концов (весьма быстро) устанавливается максвелловское распределение.