1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения

При произвольном криволинейном движении вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. В этом случае существует ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине, и ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению.

Рассмотрим три частных случая.

При движении по прямолинейной траектории - орт скорости остается постоянным, т.е. =сonst, поэтому . Если 0, то ускорение направлено так же, как и скорость. Если 0, направление ускорения противоположно направлению скорости. Модуль ускорения равен .

При равномерном движении по окружности =сonst, изменяется (рис.1.6,а), поэтому:

. (1.4)

Найдем производную орта скорости .

  s

R

О

а) б)

Рис.1.6

Из рис.1.6 видно, что за время t орт скорости поворачивается на угол 

и получает приращение . По определению

.

При и . Тогда , - еди-ничный вектор, имеющий такое же направление, как и .

При произвольном переходе единичный вектор превращается в -орт нормали к траектории в той точке, в которой частица была в момент t. Таким образом,

. (1.5)

Подставив (1.5) в (1.4), получим - нормальное уско-рение.

При равномерном движении по окружности ускорение направлено по нормали к скорости. Поэтому называют его нормальным ускорением и в обозначении ставят индекс n.

При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения функций, найдем выражение для ускорения

.

Видно, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них коллинеарно скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают .

Второе слагаемое совпадает с , т.е. определяется формулой и является нормальным ускорением. Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости, второе быстроту изменения направления скорости. Составляющие и перпендикулярны друг другу (рис.1.7). Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих .

Рис.1.7

Отсюда следует, что полное ускорение будет равно .