- •Введение
- •Дифференцирование векторных величин
- •1. Кинематика поступательного
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
5. Элементы специальной теории относительности
5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью . Одну из этих систем обозначим буквой К и будем считать условно неподвижной. Тогда вторая система К будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью . Выберем координатные оси x,y,z системы К так, чтобы оси x и x совпадали, а оси y и y, а также z и z были параллельны друг другу (рис.5.1).
Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки М в системе К и координатами той же точки в системе К.
За начало отсчета времени выберем момент, когда начало координат обеих систем совпадали.
y K y K M
O O x x x t x
z z Рис.5.1 |
Из рис. 5.1 видно, что x=x+t; y=y; z=z. Добавим к этим соот-ношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым обра-зом, т.е. t=t, и получим |
совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея:
(5.1)
Продифференцировав соотношения (5.1) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К:
; ; . (5.2)
Обозначим проекции скоростей точки М в системе К на оси x,y,z:
, , ,
в системе К на оси x,y,z:
, ,
и перепишем соотношения (5.2) в виде
; ; . (5.3)
Три скалярных уравнения (5.3) эквивалентны векторному соотношению
. (5.4)
Соотношения (5.3) и (5.4) выражают классический закон сложения скоростей.
Докажем, что любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной.
Система отсчета, относительно которой тело при компенсации внешних воздействий движется равномерно и прямолинейно (=сonst)называется инерциальной системой отсчета.
Продифференцируем по времени соотношение (5.4), учитывая, что
,
получим
. (5.5)
Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью, оказывается одним и тем же.
Если система отсчета К инерциальная, т.е. ускорение тела =0, то и остальные системы К будут инерциальными, т.е. =0.
В классической механике считается, что масса материальной точки (тела) не зависит от скорости её движения, т.е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета:
m=m.
Из второго закона Ньютона имеем
, .
Так как , то и
. (5.6)
Силы, действующие на тело в системе К и К так же будут одинаковы, т.е. уравнение динамики не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Это означает, что с механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны.
Все это позволяет сформулировать принцип относительности Галилея или механический принцип относительности в следующем виде: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом при одинаковых начальных условиях.
Неизменность вида уравнения при замене в нём координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы называется инвариантностью уравнения.
Так как системы К и К выбраны произвольно, то можно утверждать, что согласно (5.5), ускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантным относительно преобразований Галилея.
Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки (или тела) согласно (5.6), также являются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это следует из того, что, во-первых, силы взаимодействия зависят от расстояния между точками, которые в классической механике принимаются одинаковыми во всех системах отсчета, во-вторых, они зависят от относительных скоростей точек, которые одинаковы во всех системах отсчета.
Второй и третий законы Ньютона (при m=сonst) запишутся следующим образом:
, (для системы К);
, (для системы К).
Учитывая инвариантность ускорений и сил, можно утверждать, что уравнения, выражающие второй и третий законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.
Принцип относительности Галилея можно записать в иной формулировке: никакими механическими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчета, нельзя обнаружить движение этой системы относительно других инерциальных систем.
Механический принцип относительности свидетельствует о том, что в рамках классической механики все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Среди них нет какой-то главной, раз и навсегда выделенной абсолютной системы отсчета, движение всех тел относительно которой можно было бы назвать абсолютным движением.