7.6. Барометрическая формула.

Действие силы тяжести приводит к определенному распределению молекулярной плотности по высоте газового столба. Одновременно с изменением плотности изменяется и давление, измеряемое барометром.

Пусть имеется свободный столб газа, поддерживаемый при постоянной температуре. Выделим мысленно столб газа с основанием 1 см² (рис.7.8). Обозначим р₀ давление газа у основании столба, р – давление газа на высоте h. Тогда давление газа на высоте h+dh равно p+dp. Причем, давление во втором сечении будет меньше, чем в первом на величину p+dp.

Уменьшение давления равно весу столба газа сечением 1 см2, заключенного между 1-м и 2-м сечениями, который равен gdh т.е. p-(p+dp) = gdh, где  - плотность газа на высоте h.

p+dp 2 dh p 1 h p0 Рис.7.8

Отсюда

dp = gdh. (7.24)

Из уравнения Менделеева-Клайперона следует, что

,

где V - объем газа, М – молярная масса газа, m - масса газа. Заменим

в данном уравнении через  - плотность газа:

. (7.25)

Подставим (7.25) в (7.24):

,

разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

;

;

.

Потенцируя последнее уравнение, найдем зависимость давления от высоты при сделанном нами допущении о постоянстве температуры:

. (7.26)

Эта формула называется барометрической.

p M1 M2 T1  T2 M1(T1) M2(T2) h Рис.7.9

Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (больше М) и чем ниже температура (рис.7.9).

7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана

Если в барометрическую формулу (7.26) подставить основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов в виде p=nkT, то получим закон изменения с высотой числа молекул в единице объема:

,

где n₀ - число молекул в единице объема на высоте, равной нулю, n - то же число на высоте h.

Величина , где m - масса одной молекулы, N_A - число Авогадро, k - постоянная Больцмана. Следовательно,

. (7.27)

n T2T1 T1 T2 h Рис.7.10

Графически эта зависимость изображается следующим обра-зом (рис.7.10). Каждое конкретное распре-деление молекул на высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле, характеризуемое силой mg, стремится расположить их на поверхности Земли;

2) тепловое движение, характеризуемое величиной kT, стремится разбросать молекулы равномерно по поверхности Земли.

Чем больше m и меньше Т, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. При высоких температурах преобладает тепловое движение и плотность молекул медленно убывает с высотой. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

_p = mgh. (7.28)

Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. Подставляя (7.28) в (7.27), получим распределение Больцмана в виде

, (7.29)

где n₀ - число молекул в единице объема, в том месте, где _p=0, n - число молекул, где потенциальная энергия молекулы равна _p.

Выражение (7.29) показывает, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия и, наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.

Если взять отношения n₁ и n₂ в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значение и , то

. (7.30)

Больцман показал, что распределение (7.29) и вытекающее из него выражение (7.30) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекул. Эти два распределения можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана. Согласно распределению Максвелла, количество молекул, содержащихся в единице объема, скорость которых лежит между  и +d равно

dn = nf()d, (7.31)

где

. (7.32)

Подставляя (7.29) и (7.32) в (7.31), получим закон Максвелла-Больцмана

или ,

где Е - полная энергия молекулы.