6.4. Затухающие колебания
Всякое реальное колебание происходит с постепенным расходованием энергии движения на работу против сил трения. При этом амплитуда и скорость колебательного движения убывают. Полная сила, действующая на колеблющуюся точку, будет тогда суммой квазиупругой силы и силы трения:
F = Fупр+Fтр
При малых скоростях движения сопротивление обычно пропорционально первой степени скорости и направлено противоположно ей:
Fтр= r,
где r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела.
Уравнение движения тела в этом случае имеет вид
Fупр+Fтр;
.
(6.27)
Введем обозначения
;
и перепишем уравнение (6.27):
,
(6.28)
где 0 - собственная частота колебания системы.
Будем искать решение уравнения (6.28) в виде
,
(6.29)
где A(t) - некоторая функция времени.
Найдем первую производную от уравнения (6.29):
(6.30)
и вторую производную:
.
(6.31)
Подставляя уравнения (6.29), (6.30), (6.31) в (6.28), получим
Сгруппируем члены при cos(t+) и sin(t+):
.
Для того, чтобы данное уравнение удовлетворялось при любых значениях t, необходимо равенство нулю коэффициентов при cos(t+) и sin(t+).
Таким образом, мы приходим к двум уравнениям:
;
(6.32)
.
(6.33)
Из
уравнения (6.32) получим
.
Проинтегрируем выражение
;
.
Производя потенцирование найденного соотношения, получим выражение для амплитуды колебаний:
A=A0e-t.
Легко
увидеть, что
,
а
.
Подстановка этих значений в уравнение (6.33) приводит к соотношению
,
из которого после сокращения А получаем
,
.
При
частота затухающих колебаний
будет величиной вещественной, и решением
дифференциального уравнения (6.28) является
функция вида
.
(6.34)
График этой функции дан на рис.6.15.
Сравнивая полученное решение (6.34) решением уравнений гармонических колебаний
x=Acos(t+),
следует заметить, что последние отличаются от чисто гармонических колебаний тел, что амплитуда колебания
является убывающей функцией времени.
На графике (рис.6.15) она показана пунктирной линией.
Величина
|
A0
O t
-A0
Рис.6.15
|
называ-ется показателем затухания,
- частотой коле-бания. Период колебания
определяется из соотношений
x
;
или
.
С увеличением трения период колебаний возрастает, а при =0 период становится бесконечным. При дальнейшем увеличении период становится мнимым, а движение точки или тела – апериодическим (рис.6.16). Вычислим отношение амплитуд, отстоящих друг от друга во времени на один период:
.
x
O t Рис.6.16 |
Отношение амплитуд зату-хающих колебаний, отстоящих друг от друга на интервал времени, равный периоду, постоянно во все время колебания. Натуральный лога-рифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:
|
;
.Логарифмический декремент затухания характеризующий быстроту убывания амплитуды, прямо пропорционален величине коэффициента сопротивления и обратно пропорционален массе системы. Таким образом, из-за наличия сил трения собственные колебания точки или тела будут затухающими.