3268

колебаний

одного

направления

x1

acos 1t 1

и

x2 bcos 2t 2 .

через , а частоту 2 представим

Обозначим частоту 1

как

2 .

Тогда

уравнения

колебаний

можно

переписать в виде

x1

acos t ,

(1)

x2 bcos t t ,

(2)

где

t t 2

1

- разность

фаз,

зависящая

от

времени.

t

По условию все значения разности фаз

равновероятны. Следовательно, разность фаз

t за период

колебаний

T или на промежутке

значений

0,2 ,

можно

2

1

2

M cos cos f d

cos d 0.

2

0

0

Отсюда делаем вывод: косинус разности фаз , значения

которой равновероятны, равен нулю, т.е.

M cos cos

0,

(3)

где - случайная переменная на промежутке

0,2 .

энергий складываемых колебаний, т.е.

W W1 W2 .

(4)

Далее рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных

колебаний x acos t ,

y bcos t . В этом случае точка

состояния (x,y) на плоскости

XY

при

0

и

описывает эллипс, уравнение которого имеет вид

x2

y2

2xy

cos sin

2

.

(5)

a2

b2

ab

Как видно из уравнения (5), точка (x,y) совершает

колебания относительно начала

0 при 0, ,

уравнения

которых имеет вид

x acos t ,

y bcos t .

Квадрат

амплитуды колебаний в этих частных случаях A a2

b2 и,

W W1

W2 .

(6)

Равенство (6) справедливо

и в общем

случае (5),

acos t ,

10

2

2acos

t

,

1

2

3

1,5acos t

.

3

Векторная диаграмма приведена на

рисунке.

Измерение

модуля

результирующей амплитуды

0

10

20 30

дает

0

1,9a

k

a

ei t k 1 e i t k 1 .

(1)

2

Поскольку показательные функции, находящиеся

в

k

aRe ei t k 1 ,

(2)

где символ Re выделяет реальную часть выражения (1).

Уравнение результирующего колебания получает вид

N

N

N

. (3)

R aRe ei t k 1

aRe ei t ei k 1

1

1

1

N

Выражение

ei k 1

представляет собой сумму членов

1

N

q

N

1

iN

1

ei k 1

e

.

(4)

q 1

i

1

1

e

Преобразуем правую часть (4):

N

N

N

eiN 1

cosN isin N 1

sin

icos

sin

2

2

2

ei 1

cos isin 1

sin

icos

sin

2

2

2

sin

N

N

N

icos

icos

2

sin

sin

sin

2

2

2

2

2

sin

N

N 1

N 1

sin

N

2

2

i N 1 2

cos

isin

e

2

2

sin

sin

2

2

Таким образом, получаем:

N

N

2

ei k 1 sin

e i N 1

sin

.

(5)

1

2

2

С учетом (5) получаем:

N

N

sin

asin

N 1

2

Re e

i t N 1 2

2

.

(6)

a

cos t

2

sin

sin

2

2

Отсюда амплитуда результирующего колебания

A asin

N

sin

.

(7)

2

2

4.74. Согласно заданным

условиям,

дипольные

k2

излучатели 1 и 2 расположены в

r1

M k1

плоскости,

проходящей

через

E2

центры

диполей

и

1

r

r2

перпендикулярной

их

d

O

E1

электрическим

моментам.

Отсюда

следует,

что

2

электрические векторы E1

и E2

r

электромагнитных

полей

осциллирующих диполей колеблются в этой плоскости и

перпендикулярно радиус-векторам r1

и r2 , проведенным от

центров диполей к точке наблюдения M (см. рисунок).

Разумеется, что речь идет о какой-либо точке M волновой

зоны. С учетом разности фаз α между колебаниями

излучателей напишем уравнение для электрической

напряженности в точке M электромагнитных полей:

E

a0

cos t kr ,

(1)

r

1

1

1

E

a0

cos t kr

.

(2)

2

r

2

2

Здесь предполагается, что мощности излучателей равны

между собой, а также

k1

k2

k 2 . Разность фаз между

колебаниями (1) и (2) в точке M равна

k r2 r1 .

(3)

Из

рисунка

видно,

что

r1 r d 2 cos

и

r2 r d

2 cos (до малых величин второго порядка). Тогда

разность фаз

kd cos .

(4)

Заметим, что когерентности колебаний в точке M

необходимо, чтобы угол между волновыми векторами k1

и k2

был малым, что равносильно условию d <<r1, r2 .

A2 A2

A2

2A A cos ,

(5)

1

2

1

2

где

A

a0

,A

a0

.

(6)

r

1

2

r

1

2

Подставляя (4) и (6) в (5), получим

2

1

1

A2

a0

r2

1 (d /2r)cos

1 (d /2r)cos

2

1

cos kdcos .

(7)

2r cos

d 2r cos

1 d

1

При условии d<<r выражение (7) получает вид

A2

2a2

1 cos kdcos .

(8)

0

r2

Поскольку

интенсивность

излучения пропорциональна

направлениях, для

которых

cos kdcos 1,

т.е.

когда

kd cos 2 n, где n = 0, 1, 2, ,или

2 n

9

cos

n

d.

kd

2

Далее, ответим на вопрос пункта б). При cos , т.е.

когда cos 1, выражение (8) принимает вид

A2

2a2

1 cos kd .

10

0

r2

A Amin

0

Из равенства

(10)

видно,

что

при

d

1

A Amax

cos kd 1,

излучателей 2

. В случае

a

2

осцилляторов. Зависимость интенсивности излучения

I

подобна зависимости

A2 .

Если в этой формуле,

согласно

условию

задачи, положить

d 2, то

зависимость

I

примет вид

I0 1 cos cos .

I

(1)

Для построения диаграммы направленности излучения

диполей зависимость (1) удобнее представить в виде

I I0 2cos2 cos 2 .

(2)

На основании уравнения (2) построим диаграммы

направленности излучения при следующих ограничениях:

а)

0. При этом условии

2

(3)

2cos

cos .

2

Приведем координаты некоторых точек полярной кривой

для

:

2

θ

0

/6

/4

/3

/2

ρ

0

0,08

0,4

1

2

2cos2 cos 2 .

(1)

Для 0

и на основании (1) получим уравнения

полярных диаграмм направленности излучения:

2cos2 cos ,

(2)

2sin2 cos .

(3)

2

2

2cos

cos

.

2

2

плоскости

излучающего диполя напряженность Ei Ei

Eir 0 не

зависит от азимутального угла . Амплитуда

напряженности

2

r

r

2

d sin .

2

1

d

2 k

sin .

d

2 k

sin t .

4 hx 2 k,

(1)

x xk xk 1 2h.

2

Увеличивая h на Δh, получим

По

x

2 h h .

условию задачи x x , т.е. 1 h h , или

h 1 h.

(3)

Из равенства (2) имеем