3268

dA

A0

cos( t k

x

)dx

A0

cos( t kxsin )dx.

b

b

Уравнение результирующего возмущения от всей щели в

направлении угла дифракции получаем вид

b

A

b

A

dA

0

cos( t kxsin )dx

0

b

0

A0

sin( t kxsin )

b

bksin

0

A0

sin( t kxsin )

b

bksin

0

sin(

kb

sin )

sin(

b

sin )

A0

2

A0

.

(1)

kb

sin

b

sin

2

sin2(

b

sin )

I I0

,

(2)

b

2

(

sin )

uде I0 - интенсивность света,

идущего от всей щели

в

направлении 0, т.е. в направлении первичного пучка.

Определим направления, в которых наблюдаются

минимумы и максимумы дифрагированных лучей.

а) Минимумы вытекают из условий

sin(

b

sin ) 0 и sin 0.

Отсюда следует условие минимумов интенсивности

bsin k ,

k 1, 2,....

(3)

б) В направлениях максимумов

dA

0. Введем

d

обозначение u

b

sin ,

тогда выражение для амплитуды A

примет вид

Eu (A0 sinu)/u .

A

Получаем уравнение

dE

0, т.е. ucosu sinu 0 или

dU

u=tgu.

(4)

Наряду с корнем u0

0, численное решение уравнения

(4) дает корни: u1 1,43 ;

u2 2,46 ; u3 3,47 ;

u4 4,47

видеu0 0 и приближенными значениями

uk (k 1/2) .

Отсюда имеем: центральный максимум

( 0) для

не

дифрагированных лучей и условие bsin (k 1/2) -

для

картины

совместим с фокальной

плоскостью

линзы.

Расстояние

между

минимумами

k

одного

порядка,

симметрично

расположенными

относительно

f

k

центра

наблюдаемой

картины,

равно

xk 2 f k ,

где f -

фокусное

x

расстояние линзы, k - угол

0

xk

дифракции,

соответствующий

помощью рисунка получаем соотношение:

b

sin k

k /b

x

ftg

k

f

f

f /

(b/k )2 1.

k

1 sin2 k

1 (k /b)2

Отсюда имеем:

b

f

b

b/k

.

(

)2 1 (

)2

1 ( f / x )2

k

xk

k

k

1 ( f /x )2

k

По условиям k=3, xk

x/2,

тогда

b/3

.

1 (2 f / x)2

Подставляя в эту формулу значения b=11 мкм, f=150 мм

и x 50

мм, получим 0,6 мкм.

0

4.135.

На

рисунке показаны

M1

угол

0

падения

параллельных

лучей и произвольный угол

b N

M

дифракции лучей от щели. Разность

M2

хода

крайних

дифрагированных

лучей равна

bsin bsin 0 b(sin sin 0).

Здесь

принималось

одно

направление

отсчета

углов

0

и . Согласно условию минимума дифрагированных лучей,

k , гдеk 1, 2,..., т.е. b(sin sin 0) k .

По

условиям задачи k 1,

0,50мкм ,b 10мкм,

0

300 .

Следовательно,

углы, под которыми наблюдаются

первые минимумы, будут равны:

4.136. Угол падения лучей на плоскость щели равен углу

преломления r. В этом направлении проходящие лучи имеют

разность фаз

nbsin bsinr nbsin b(nsin ) 0

r

Это означает, что направление лучей, образующее угол r

с нормалью

к

плоскости

r

щели,

соответствует

центральному максимуму

интенсивности света. При

O

N1

этом

угол

между

M1 b

N

r

направлением

на

r M2

центральный максимум и

направлением

падающего

света равен

r arcsin(n )

3

2

1

3

2

1

D

B

3

2

1

0

A

C

0

d

BC AD d cos 0 sin(

) d(cos 0

cos ).

2

Максимумы интенсивности наблюдаются при тех углах

скольжения

дифрагированных

лучей,

которые

удовлетворяют условию

d(cos 0

cos ) k ,

k 1,2....

Поскольку углы 0 и

небольшие, можно перейти к

приближенному условию:

d( 1 sin2 0 )

1 sin2 k ,

d ( 1 20 ) 1 2 k ,

d (1

2

1

2

) k ,

0

2

2

d ( 2 02) 2k .

Отсюда имеем длину волны:

( 2 02)d /2k .

Для

1рад,

3рад,

d 1,0мм

и k 2

0

180

180

имеем: dsin 2 2 1,

dsin 3

3 2 . Отсюда получаем:

sin 3

(3 2

/2 1)sin 2 .

Для =0,65мкм, =0,50 мкм и

2

450 .

1

2

3

0,50

sin

3

2

0,81

3

540 .

2

2

0,65

4.140. Сделаем

обозначения: 5

- угол дифракции,

На основании формулы

dsin k

k

для главных

максимумов в данном случае имеем:

dsin 5

5 ,

(1)

dsin

k .

(2)

При этом заметим, что k <5

и k - натуральное число.

sin 5

5sin

5sin350

2,87

..

k

k

k

чисел наиболее близким к значению sin

1

является число

2

0,96, соответствующее k=k =3. Тогда по

формуле (2)

находим:

d 3 /sin

3 0,535

мкм = 2,8 мкм.

0,574

4.141. Исходя из формулы

d sin k

k для главных

максимумов для k1=1 и k2=2, напишем:

d sin 1

,

(1)

d sin 2

2 .

(2)

Отсюда имеем sin 2 2sin 1

. По условию 2 1 ,

тогда sin( 1 ) 2sin 1. Далее алгебраические

и

тригонометрические преобразования:

(1 sin2 1)sin2 (2 cos )2

sin2 1;

sin2 (4 4cos cos2

sin2

)sin2 1 ;

sin2 (5 4cos )sin2 1.

Поскольку 0 1

,

2

sin

sin 1

.

(3)

5 4cos

Подставляя (3) в (1), получим

dsin

0,54мкм.

5 4cos

dsin k

k .

(1)

Представим sin k в виде:

sin k

tg k /

1 tg2 k

(xk

/ f )/

1 (xk

/ f )2 , (2)

где f – фокусное расстояние линзы,

f R/(n 1).

Подставляя (2) в (1) получим:

d xk / f

k d2 xk2 k2 2 f 2 (1 (xk / f )2 )

1 (xk / f )2

(d2 k2 2 )xk2 k2 2 f 2 xk f /

(d /k )2 1.

Для k=1 расстояние между максимумами на экране

наблюдения равно

2R

8см.

x x x

1

2t/

(d / )2 1

1

(n 1)

(d / )2 1

d

0

n

0

0