3268
.pdf
дифракции относительно нормали к решётке есть . Условие максимума k-го порядка имеет вид
|
|
|
|
|
d(sin k |
sin 0 ) k . |
|
(1) |
||||||
Положим |
|
k 1. |
Тогда |
sin 1, 1 |
|
|
sin |
0 . Для |
k 1 |
|||||
|
||||||||||||||
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
||
sin |
|
0,75 0,5 |
и |
|
|
30o . |
Для |
k 1 |
||||||
|
1 |
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin 1 0.25 0.75 1 и 1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Второй результат |
отбрасывается, |
поскольку |
коэффициент |
|||||||||||
K( )для |
скользящий лучей равен |
0 и, следовательно, при |
||||||||||||
углах дифракции 90o максимумов нет.
Максимум первого порядка наблюдается под углом 30о, отсчитанного в правую сторону от нормали, т.е. в сторону основания клина. Равенство 1 30о означает, что направление на максимум первого порядка совпадает с направлением падающей волны.
Если в уравнении (1) положить 0, то получим k=0. Центральный максимум наблюдается в направлении нормали решётки, или под углом 30о к направлению падающих лучей.
Теперь в равенстве (1)
положим и получим k=7. 2
Однако, как уже отмечалось, в этом направлении максимум не реализуется. Поэтому максимальный порядок максимума km=6.
Соответствующий угол дифракции (относительно нормали) находим из равенства
k 6
78,50 
300
k 0
k 1
Рис.3
171
sin |
|
6 |
|
sin |
|
6 0,25 0,75 0,75; |
|
|
48,5o . |
|
6 |
d |
0 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
По отношению падающих лучей 6 6 78,5o .
Направления, вдоль которых наблюдаются заданные максимумы интенсивности дифрагированных лучей показан на рис.3.
|
|
|
|
|
4.145. |
В |
зависимости |
от |
||||
|
|
|
|
глубины |
n |
|
бороздок |
|
|
на |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
h |
пластинке |
|
|
в |
прямом |
|||
|
|
|
a |
направлении |
(лучей |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 , |
|
,3 ) |
|||||
|
|
|
|
может |
наблюдаться |
|
|
как |
||||
1 |
2 |
|
|
|
максимум, |
так |
и |
минимум |
||||
|
|
1 |
2 |
|
интенсивности света (см. рис.). |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
В случае минимума интенсивности оптическая разность |
||||||||||
хода для этих лучей должна удовлетворять условию |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(n 1)h |
k , где k=0,1,2,… |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h |
(k 1/2) |
, |
(1) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
k |
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Сдвинем индекс «k» на 1 вперёд и перепишем выражение |
||||||||
(1) в виде |
|
(k 1/2) |
|
|
|
|||
h |
, k=1,2,… |
(2) |
||||||
|
||||||||
k |
|
|
n 1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
Для лучей 1 и 2 под углом дифракции |
оптическая |
|||||||
разность хода равна (n 1)h asin . |
|
|||||||
Максимум k-го порядка наблюдается, если k , т.е. |
||||||||
|
(n 1)h asin k , |
(3) |
||||||
где k=1,2,…
Поскольку условия (1) и (3) должны выполняться совместно, то в равенстве (3)
h hk (k 1/2)/(n 1) (4)
Подставляя (3) в (2), получим: 172
(k 1/2) asin k |
k asin k /2 |
(5) |
Результат (5) показывает, |
что в заданных условиях по |
|
одну сторону от центра будет наблюдаться один максимум под углом arcsin( /2a).
4.146. Жидкость, в которую введена ультраакустическая волна, представляет собой чередующуюся последовательность областей сжатия и разрежения этой среды и, следовательно, характеризующихся различий в показателе преломления.
Поэтому для света эта жидкость будет представлять собой фазовую дифракционную решётку. Получающаяся решётка будет иметь период, равный длине акустической
волны. Это хорошо видно из рис.1. Величина n0 |
определяет |
|
равновесный оптический показатель преломления среды. |
||
Итак, период такой решётки |
d / , |
где – |
фазовая скорость звуковой волны, |
– её частота. |
|
Оптическую разность хода дифракционных лучей от |
||
соседних структурных элементов под углом |
к нормали |
|
определим выражением |
|
|
|
|
dsin n0 2 0 |
cos2 x . |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
Поскольку амплитудное смещение точек среды 0 |
||||
оптическим слагаемым в выражении для пренебрежём и |
|||||
положим dsin . |
|
|
|
||
|
|
( t kx) |
|
|
x |
|
Л |
|
|||
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
( t kx) |
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
n0 |
|
|
|
f |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
Рис.2 |
|
|
|
|
173 |
|
|
|
Направления на дифракционные максимумы k-го и (k+1)-го порядков определим углами k и k 1:
dsin k k , dsin k 1 (k 1) .
Из рис.2 видно, что tg k |
xk |
, tg k 1 |
|
xk 1 |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
|
||
Для малых углов sin tg . Тогда d( 2 |
1) , или |
|||||||||||
|
|
d |
(xk 1 xk ) d x/ f . |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
x xk 1 xk |
|
– расстояние |
между |
соседними |
|||||||
максимумами, f – фокусное расстояние линзы. |
|
|||||||||||
Учитывая соотношение d / , получаем: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
, f / x. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||
В |
заданных |
условиях ( , ,f |
и x ) скорость |
|||||||||
ультразвуковой волны в воде равна 1500м/с. |
|
|||||||||||
4.147. Световая волна, падающая на входную щель S системы, монохроматическая. В связи с этим вопрос будет состоять в оценке пространственной когерентности световых пучков, исходящих от щелей S1 и S2 (см. рисунок).
Когерентность или некогерентность световых пучков от протяженного источника характеризуется радиусом когерентности S=λ/φ, где φ – угол, под которым наблюдается поперечник источника из заданной пространственной точки.
Световые |
|
лучи, |
исходящие от элемента |
светящейся |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
поверхности |
когерентны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
если размеры этого элемента |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньше |
радиуса |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когерентности. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
||||
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
Из |
схемы, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представленной на рисунке |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
видно, что |
относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
средних точек щелей S1 и S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
174
входная щель S наблюдается под углом φ=b/f, где b – ширина щели S, f-фокусное расстояние линзы. Здесь предполагаются примерные равенства r1=r2=r=f. Радиус когерентности входной щели S можно определить значением
f .
b
Для правого полупространства световые волны, исходящие от щелей в экране будут когерентными, если d ≤ λf/d. Отсюда определяем допустимую ширину входной щели S:
b≤ λf/d = 1 мм.
4.148. Содержательное решение данной задачи приведено в сборнике в главе «Ответы и решения».
4.149. Основными характеристиками дифракционной решетки являются угловая дисперсия D и разрешающая сила R. Угловая дисперсия решетки, соответствующая k-му дифракционному максимуму, определяется выражением
D |
к |
|
k |
, |
(1) |
|
|
||||
к |
|
|
d cos к |
|
|
где d – постоянная решетки, θк – угол дифракции относительно нормали к плоскости решетки.
По условиям задачи требуется найти угловую дисперсию для наибольшего порядка максимума в случаях: а) нормального и б) наклонного падения световой волны на дифракционную решетку.
а) При нормальном падении волны наибольший порядок «km» спектральной линии с длиной волны λ равен
km=d/λ=1,5/(530·10-3)=2,8=2 (целая часть числа).
Из формулы d·sinφк=kλ находим sinφk=kλ/d, cosφk= 
1 (k /d)2 , а затем угловую дисперсию
175
Dk |
|
k |
|
. |
(2) |
|
|
|
|
||||
d |
1 (k /d)2 |
|||||
|
|
|
|
Для k=2 и заданных значений d и λ найдем:
D2=2/d
1 (2 /d)2 2/(1,5
1 (2 0,53/1,5)2 )рад/ мкм=
= 2 рад/мкм=60 180 2/103 угл.мин/нм=6,5 угл.мин/нм.
б) При наклонном падении лучей на решетку под углом θ0 к нормали, направления дифракционных максимумов определяются условием
d·(sinθк+sinθ0)=kλ.
Отсюда угловая дисперсия для k-го максимума
Dk |
|
k |
|
. |
(3) |
|
|
|
|
||||
d |
1 (k /d sin 0)2 |
|||||
|
|
|
|
Максимальный порядок максимума в этом случае равен k d (1 sin 0) .
Для заданных значений d, θ0 и λ порядок k=[4,94]=4.
Подставляя значения величин, содержащихся в выражении (3), найдем
D4=13 угл.мин/нм.
4.150. Числитель и знаменатель выражения для угловой
дисперсии решетки D |
|
k |
|
умножим на sinθ, получим: |
||||
dcos |
||||||||
|
к |
|
|
|
||||
D |
ksin |
|
|
|
ksin |
tg / |
||
|
|
|
|
k cos |
||||
|
dsin cos |
|
|
|||||
Для заданных значений λ=550 нм и θ=600 угловая дисперсия
D=tg600/550рад/нм=0,31·10-2рад/нм=
=0,31·10-2·60·180 угл.мин/нм=11 угл.мин/нм.
176
4.151. Направления на главные максимумы и
дополнительные минимумы определяется условиями: |
|
||
dsinθ=±kλ, |
(1) |
||
dsinθ=±(k+ |
m |
)λ. |
(2) |
|
|||
|
N |
|
|
Здесь k=1,2,…; m=1,2,…, N-1.
Направления на боковые соседние минимумы для k-го главного максимума отвечают условиям:
|
|
|
|
|
dsinθ´=(k- |
1 |
|
|
)λ, |
|
|
(3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dsinθ´´=(k+ |
1 |
|
|
)λ . |
|
|
(4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из уравнений (3) и (4) получаем: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
sin -sin |
2 |
sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Nd |
||||||||||||||||||||||
|
|
Nd |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
cos k |
|
|
|
|
. |
|
|
(5) |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
Nd |
|
|
|||||||||||||||||||||
Теперь учтем, что sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
)/2 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos θk = 1 sin2 k |
|
|
1 (k /d)2 . |
(6) |
|||||||||||||||||||||||||
Подставляя выражение (6) в (5), получаем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 (k /d)2 / Nd. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда находим угловую ширину k-го максимума:
k 2 /[Nd |
1 (k /d)2 ]. |
(7) |
Для k=2; λ=589,0 нм; d=2,5 мкм и N=104 угловая ширина максимума второго порядка равна
Δθ=11 угл.сек.
4.152. Разрешающая способность дифракционной решетки R=λ/δλ=kN, где k – порядок спектральной линии λ, N -
177
полное число штрихов решетки. Максимальная величина разрешающей способности решетки достигается при наибольшем порядке наблюдаемых линий спектра. Полагая в формуле dsinθ=kλ угол θ = π/2, найдем с точностью до (-1) максимальный порядок дифракционного максимума: kmax=d/λ. При этом предельная разрешающая способность решетки
Rпр=kmaxN=(d/λ)·( /d)= /d.
Итак, R≤ /d.
4.153. Лучи 1 и 2 – крайние (см. рисунок), для них разность хода
Δ= sinφ,
где =N·d – ширина дифракционной решетки, N - число щелей, d – постоянная дифракционной решетки.
Вторичные волны, исходящие от плоскости MN до их встречи в точке В не получают дополнительной разности фаз.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
разность |
времен |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прохождения лучами 1 и 2 |
от |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости решетки до точки В будет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
равна |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Δt=Δ/c=( /c)sinφ . |
(1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший порядок максимума |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифрагированных лучей определим из |
|||||
|
|
B |
O |
приближенного условия |
sinφ 1, |
при |
||||||||||||||||||
|
|
этом kmax=k=d/λ. Тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / |
|
|
|
|||||||||||||||||||
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / |
Δt=( /c)sin |
|
/ 2 /c. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Немонохроматичность падающей |
|
световой |
волны |
|||||||||||||||||||
определим частотным интервалом Δν’ от ν’ до |
ν’+ Δν’, |
или |
||||||||||||||||||||||
длинноволновым интервалом |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δλ = (с/ν’2)· Δν |
|
|
|
|
(3) |
(пояснение: λ=с/ν; |
Δλ=-(с/ν’2)Δν’; знаки приращении |
Δν и |
Δλ |
|||||||||||||||||||||
противоположны: знак минус в (3) отброшен). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
178
Согласно критерию Рэлея, |
|
kN . Для kmax=k=d/λ |
|
|
|||
|
|
разрешающая способность решетки λ/Δλ=d·N/λ = /λ. Отсюда
|
=λ2/Δλ. |
(4) |
Подставляя (4) в (2), получаем: |
|
|
2 |
( ')2 |
с2 |
t /(c ) 1/ '. c2 с2
Итак, установили, что ' 1/ t .
4.154. Согласно критерию Рэлея, две спектральные линии
с1 и 2 в дифракционном спектре наблюдаются раздельно (разрешаются) в k-том порядке, если добавочный минимум k- го порядка линии с 1 совпадает с главным максимумом линии
с2 ( 2 > 1), т.е.
dsinθ=kλ1+ 1/N=k 2 ,
где N – число щелей решетки. |
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
имеем |
kN 1 /( 2 |
1) 1 / , |
|
где |
|||||
2 1 , |
и k 1 /(N ). |
|
|
|
|
|||||
Порядку "k" линии спектра соответствует угол |
||||||||||
дифракции k , отвечающий условию dsinθk=kλ2. Получаем: |
||||||||||
sin |
k |
k /d /(Nd ) /( ) 2 /( ). |
||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
Подставляя числовые значения из условия задачи, |
||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
600 10 9 |
|
600 |
рад 0,72рад (0,72/ ) 180 |
0 |
0 |
||
sin k |
|
|
|
|
|
41 . |
||||
10,0 10 3 |
0,05 |
|
||||||||
4.155. Разрешающая способность дифракционной решетки в области k-го максимума R=λ/δλ=кN.
Заданных условий достаточно, чтобы найти порядок спектральных линий с λ1=670,8 нм и λ2=λ1+δλ:
179
k |
|
|
670,8 |
3,4. |
||
N |
13 103 |
0,015 |
||||
|
|
|
||||
Здесь N=n· =200·65=13·103 – число штрихов решетки. Найденное значение k´=3,4 свидетельствует, что условие Рэлея разрешения спектральных линий λ1 и λ2 выполняются для порядков k>3. Принимаем k=4.
Наблюдение спектральных линий с наименьшей разностью их длин возможно в области наибольшего порядка их максимумов. Наибольший порядок этих линий оценим величиной km=d/λ= /Nλ. Равенство R==λ/δλ=kN дает следующее условие:
|
|
|
kmN |
|
|
N |
|
,т.е. (δλ)min = 2 / . |
||
|
|
|
|
N |
|
|||||
|
( )min |
|
|
|
|
|
||||
Для спектра в области λ=670 нм наименьшая разность |
||||||||||
длин волн, разрешаемых решеткой с =6,5 см, равна |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(δλ)min=7 нм. |
|
||
4.156. Предлагаются следующие ответы на вопросы а) и |
||||||||||
б) задания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Располагая |
шириной |
|
дифракционной |
решетки |
||||||
=10 мм и |
тем, что |
|
компоненты желтой линии |
натрия с |
||||||
λ1=589,0 нм и λ2=589,6 нм разрешаются, начиная с пятого порядка (k=5), найти период d решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки в области k-го порядка спектра равна λ/δλ=kN=k·( /d), где N - число щелей. Отсюда находим период решетки:
d=k ·δλ/λ=5·10-3·0,6/589 (м) = 0,05 мм.
б) В этом случае решетка с тем же периодом d имеет другую ширину , а дублет спектральной линии =460 нм, компоненты которого различаются на δ =0,13, разрешается в спектре третьего порядка (k =3). Требуется найти .
Здесь также исходим из выражения для разрешающей силы решетки:
/ δ =kN =k /d .
Из этого соотношения находим:
180