Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3268

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Чтобы получить решение этой задачи, сперва выведем

формулу тонкой линзы.

3. Вывод формулы тонкой линзы

Будем

исходить

из

формулы

сферической

преломляющей

поверхности.

Показатель преломле-

ния

материала

линзы

S n0

обозначим

через

n0 ,

показатели

преломления

сред слева и справа от

линзы

соответственно

через n1 и n2 . Построим изображение точки M , лежащей на

главной оптической оси на расстоянии

от линзы (рис.4).

Это построение будет состоять в следующем. Сначала

построим изображение точка на первой поверхности (по ходу

лучей), затем, рассматривая это изображение как источник,

построим его изображение на второй поверхности.

Пусть

изображение

точки

M ,

даваемое

первой

поверхностью, есть

точка

M1 ,

её

расстояние

до этой

поверхности M1S1 a .

Тогда, согласно формуле сферической

преломляющей поверхности, имеем

n1		n0		n1 n0	.	(1)

a1 a R1

Изображение точки M1 на второй преломляющей поверхности, разграничивающей среды с показателями преломления слева n0 , справа - n2 , допустим, есть точка M2 ,

расположенная на расстоянии a2 от этой поверхности. В этом случае имеем

n0 n2

(2)

Складывая (1) и (2), получим

n1 n0

n0 n2

a1 a2

или

n0 n1

n0 n2

(3)

Для тонкой линзы её толщина достаточно мала по

сравнению с радиусами кривизны R1

и R2

ограничивающих

поверхностей.

Поэтому, обе

вершины

сферических

поверхностей можно считать практически совпадающими.

Точку совмещения (слияния)

вершин S1

и S2 , обозначаемую

через С, называют центром тонкой линзы.

Формула (3) является формулой тонкой линзы и верна

как для выпуклых,

так и вогнутых линз при произвольном

расположении точки M .

Определим фокусные

расстояния

линзы. При

имеем

n0 n1

a f n /(

)

(4)

– для переднего фокуса F1 .

При a1

n0 n1

n0 n2

)

(5)

– для заднего фокуса F2 .

Из выражений (4) и (5) имеем соотношение

f2 /

f1 (n2 /n1).

(6)

В случае n1 n2

f2 f1 f , формула (3) принимает

вид


	1	1	(	n0		1)(		1		1	),	(7)
			(			1)(		R1			),	(7)
	a2 a1			n				R1		R2
или			1		1		1
			1		1		1		.			(8)
									.			(8)
			a2 a1				f

4. Главные плоскости и главные точки тонкой линзы

Согласно определе-							B1
ниям	линейного			увели-				B	A
чения	и			главных			y2

элементов				линзы,			M1	y1	C
имеем y			/ y a		/a	F		M	F
		2				1			2
			1	2	1


и	1.		Отсюда		a1	f2
следует, что отрезки a1 и					a1	f2
следует, что отрезки a1 и
a2	должны		иметь	a2
a2	должны		иметь
одинаковые знаки, т.е.
предмет		и изображение
должны		находиться по

одну сторону линзы. Поскольку принято пространство

предметов располагать с левой стороны линзы, то

a1 0

a2 0. На рис.5

построено изображение

M1B1 y

предмета

MB y при

1 (здесь

y y1,y y2 ).

Из подобных треугольников F2B1H и

F2AC имеем

Из условия

1 следует,

что

a 0 , а затем

a1 0, поскольку a2

при

1. Изначально расстояния

a2 , a1 , f2

и f1

отсчитывались

от

центра линзы

С.

Следовательно,

при

сопряженные

точки

B1 и

сливаются с точкой А, а сопряженные точки M1 и M - с точкой .

Итак, можем сделать вывод: главные плоскости тонкой линзы сливаются в одну и проходят через оптический центр линзы. При этом расстояния a2 , a1 , f2 и f1, отсчитываемые как от центра С тонкой линзы, так и от совпадающих главных точек (главных плоскостей) соответственно одинаковы.

Для толстой линзы определение центра утрачивает смысл и основными элементами такой линзы являются главные плоскости и главные точки. Если теперь расстояния a2 , a1 , f2

и f1 отсчитывать от главных точек H и H , то формулы (3) и

(5)-(8) применимы и в этом случае.

5. Узловые точки и узловые плоскости тонкой линзы

Пусть

имеется

некоторая

линза

произвольной

толщины,

расстояние

между

главными

плоскостями

которой

равно .

Допустим, что

фокусные

расстояния

линзы

относительно

главных

точек

равны

f1. Расстояния

предмета и

изображения от соответствующих фокусов F1 и F2

обозначим

через x1 и x2 (рис.6).

Построив изображение точек A2B2 предмета A1B1 , обнаружим следующие соотношения. Из подобия заштрихованных треугольников по обеим сторонам линзы имеем:

y2	f1	;	(9)
y1	x1

	y2	x2	.	(10)
	y1
		f2
Из равенств (9) и (10) получаем
	x1x2 f1 f2 .			(11)

Соотношение (11) называют формулой линзы произвольной толщины. Угловое увеличение линзы при

заданном положении предмета
tgu2 /tgu1	(x1 f1)/(x2	f2) a1 /a2 1/ ,	(12)
где – линейное	увеличение.	Если в выражении	(12)
положить x1 f2 , а x2 f1 , то =1 и a1 a2 . Отрезки x1			и x2 ,

удовлетворяющие этим условиям, определяют положение узловых точек относительно фокусов линзы. Относительно

главных точек H1 и H2	узловые точки N1 и N2	расположены
на расстоянии a1 a2	f1 f2 соответственно.	Отсюда также

следует, что расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными точками (плоскостями). Для тонкой линзы главные плоскости сливаются в одну, следовательно, узловые плоскости тонкой линзы также совмещаются.

На основании вышеизложенного приведём результаты

вычислений частной задачи.
				6. Результаты вычислений
В	условиях			данной		задачи		показатели		преломления
n0 1,5,	n1 1, n2			1,33;			радиусы кривизны			сферических
поверхностей линзы					R1 R 7,5см,			R2 R 7,5см
Фокусные расстояния данной линзы вычисляем по
формулам (5) и (6):
f2			n2R		1,33	7,5			14,9см;
		2n	n n				2 1,5 1 1,33
	0		1	2

	n
f		1	f		11,2см.

				2
1
	n2

Узловые точки находятся от центра линзы на расстоянии

a1 a2 f1 f2	14,9 11,2 3,7см в среде с показателем
преломления n2	1,33

4.59. Главные плоскости тонкой линзы совмещаются и проходят через её оптический центр. Поэтому фокусные расстояния f и f’ можно отсчитывать как от центра, так и от совмещенных главных плоскостей тонкой линзы.

Фокусные расстояния и положения главных плоскостей центрированной системы из двух тонких линз будем определять, исходя из следующих формул, полагая, что линзы находятся в воздухе:

Ф Ф1 Ф2			Ф1Ф,		(1)
	xн	Ф2	/Ф,		(2)
	xн'	Ф1 /Ф .			(3)
Здесь Ф1 1/ f1 , Ф2	1/ f2 - оптические			силы первой	и
второй линз; Ф 1/ f	- оптическая сила			системы;	–

расстояние между линзами; xн и xн’ - координаты главных точек системы относительно первой и второй линз соответственно.

Следует	отметить, что		в рассматриваемых	условиях
f ' f , f '1	f1 ,	f '2 f2 ,	а также, что отрезки	f1, f '1 , и

f2, f '2 ,определяются относительно соответствующих линз.
Перепишем формулы (1)-(3) через фокусные расстояния:
f f ' f1 f2 /( f1 f2 ),	(4)
xн f / f2 ,	(5)
xн' f / f1.	(6)

Спомощью формул (4)-(6) найдем положения фокусов F, F'

иглавных точек H, H’ систем a) и б).

а) Система из собирающей и рассеивающей линз: f1 1,5 , f2 1,5 , где – расстояние между линзами.

Подставляя f1и f2 в выражения (4)-(6), получаем: f f ' 2,25 ; xн 1,5 ;

xн' 1,5

Положения фокусов и главных плоскостей данной системы показаны на рис.1.

б) Система из двух собирающих линз: f1 1,5 , f2 0,5 .

В этом случае имеем: f f ' 0,75 ; xн 1,5 ; xн' 0,5 . Положения фокусов и главных плоскостей данной системы

показаны на рис.2.

Теперь рассмотрим пункт в) задания. В этом случае имеем

выпукло-вогнутую линзу, для			которой	=4 см, n=1,5;
Ф1=50 дптр; Ф2=-50 дптр. (рис.3).
Полагаем, что		линза
окружена	воздухом,
показатель	преломления
материала		линзы,
например,	стекла,	равным	F’1	F2
n.			'1
Можно	показать, что		'1	2
Можно	показать, что			2
оптическая сила Ф толстой
линзы	определяется
выражением:			Рис.3
			Рис.3
		67

Ф Ф

ФФ

(7)

f '

1 2

где Ф1 n/ f1',

Ф1 1/ f2'-

оптические

силы

первой и

второй преломляющих поверхностей линзы. Координаты главных точек Н и Н’ линзы определяются выражениями


x			Ф2		,		(8)
	n
н			Ф
x				Ф1		.	(9)

н'		n Ф

Координаты xн и xн’ отсчитываются от вершин O и O’ поверхностей линзы соответственно.

Подставляя заданные значения исходных величин в формулы (7)-(9), получим:

Ф 0,04 50 ( 50) 200/3 дптр, 1,5

т.е. f ' f 1,5см;

x		0,04		( 50) 3		м 4см;

н	1,5				200
			xн		2см.

Положения фокусов и главных плоскостей данной линзы показаны на рис.4.

OF f , OF f , f f

4.60. Замечаем, что на рис.4.16а [1] сопряженные точки P и P и фокус F расположены на прямой линии. Из рис.4.16б [1] также видим, что сопряженные точки P, P и главная точка H находятся на одной прямой. Не делая измерений длин некоторых

отрезков и соответствующих вычислений, однозначное нахождение искомых точек (плоскостей) путем построения лучей возможно в том случае, если каждая из данных оптических систем является тонкой линзой. С учетом этих замечаний получены рис. 1 и 2.

Построения, касающиеся пункта в) задания, приведены на рис.3.

P	S
O	F
O
S	P
	P
OF f , OF f ,	f f

		2
1	P	2
1		F

P 2

HF f , HF f , f f

4.61.При нахождении точки S , сопряженной с точкой S

вкаждой предложенной последовательности точек S, F, F , H, H будем исходить из условия: заднюю (выходную) главную

плоскость оптической системы рассматривать как тонкую линзу. Кроме этого, к предметной точке S будем присоединять отрезок SA, перпендикулярный к оси OO .

На рисунке показаны соответствующие построения, определяющие положение точки – изображения.

a)					б)	А
	А					А

		А						А
		А		O					O
	O			O		O		H	O
	S	F S H	H	F		H S	F	S F

в)

г)

F S O

O O

S F F

H S

4.62. Обратимся к формулам, определяющим оптическую силу Ф и положение x и x главных плоскостей центрированной оптической системы, а именно

Ф Ф Ф						Ф Ф ;				(1)

	1		2		n		1 2
x	Ф2	,	x				Ф1	.		(2)

	nФ						nФ


Здесь Ф1 и Ф2 – оптические силы частей (линз) системы;
- расстояние между линзами;				n – показатель преломления
среды между линзами; n1=n2.
В данном задании	n=1		(воздух), Ф1						= +10	дптр,
Ф2=-10 дптр.
Выполним пункты а) и б) задания.									=0,04	м. По
а) Расстояние между тонкими линзами

формулам (1) и (2) имеем: Ф=+4дптр. Главные фокусные расстояния: f=- f =- 25 см. Координаты главных плоскостей системы: передней Н относительно собирающей линзы x=-0,1

м=-10 см; задней

H относительно

рассеивающей

линзы

x =-0,1 м=-10 см.

б) Здесь требуется найти расстояние

между линзами,

при котором

отношение

f/s,

где

(см.рис.),

имеет

максимальное значение. Тонкие линзы

те

же

поэтому

Ф1 Ф2 0. Тогда

Ф=1/f=- Ф1Ф2.

Поскольку

Ф2=-Ф1, то

Ф=1/f= Ф12.

Для

отрезков,

определяющих

положение

главных плоскостей системы,

получаем

H H

F O

Ф1

Положения

главных

фокусов

главных

плоскостей системы показаны

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.82 Mб33263.pdf
#
15.11.20223.82 Mб13264.pdf
#
15.11.20223.83 Mб13265.pdf
#
15.11.20223.83 Mб23266.pdf
#
15.11.20223.84 Mб23267.pdf
#
15.11.20223.85 Mб03268.pdf
#
15.11.20223.86 Mб03269.pdf
#
15.11.20223.86 Mб13270.pdf
#
15.11.20223.87 Mб03271.pdf
#
15.11.20223.88 Mб13272.pdf
#
15.11.20223.89 Mб23273.pdf