Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3268

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 323 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

волны.

Принимая

угол

падения

, будем иметь:

пр 420 , где

пр -

предельный

угол; 1 пр ;

m /2 , а также sin 2 nsin 1 , т.е.

sin(

) nsin(

) sin(

900) 1,5sin180

пр

m 900 280 m 580.

Итак, min 37 , max m 58 .

4.24. Обозначим показатели преломления стекла и воды соответственно через n1 и n2, n1 1,5, n2 1,33. Далее

воспользуемся условием минимума угла отклонения :

*	n sin
sin			. При отсутствии внешней среды
		2
2	отн

nотн n1, при наличии среды (воды) nотн n1 . Итак, имеем два n2

равенства:			sin	1	n		sin		,	sin	2			n1	sin	.	Для
равенства:			sin		n		sin		,	sin				n	sin	.	Для
			2			1	2			2				n	2
													2
заданных			n2 1,33					и		60 ,					получаем:
2						0,56,				2 68		0			2		8	0	.
sin		0,75sin48,5
sin	2	0,75sin48,5
	2

Таким образом, угол наименьшего отклонения луча при помещении призмы в воду 2 8 .

4.25. Угол наименьшего отклонения светового луча при прохождении через призму удовлетворяет уравнению

sin	nsin	. Для двух		спектральных		составляющих

2	2
светового луча будем иметь:
		sin	1	n sin		(1)
					2
	2			1

sin	2	n	sin	,	(2)

2		2	2

где n (n2 n1) n1,n2 ,											n2 n1 .
Из (1) и (2) получаем:
2arcsin(n sin													),					2arcsin(n sin															);
2arcsin(n sin													),					2arcsin(n sin													2		);
	1							1		2						2										2					2
							2{arcsin(n								sin				) arcsin(n							sin						)}.
							2{arcsin(n								sin				) arcsin(n							sin						)}.
			2			1				2							2								1					2
Поскольку - малая величина,
	sin sin 2 ... 2sin ... cos ...
2[n sin		cosarcsin(n sin												) cosarcsin(n sin													)n sin								]
2[n sin		cosarcsin(n sin												) cosarcsin(n sin													)n sin								]
2	2							1		2														2		2				1	2
[cosarcsin(n sin									)cosarcsin(n sin														) n n			sin2								]
[cosarcsin(n sin									)cosarcsin(n sin														) n n			sin2								]
				2				2									1			2				1	2						2
																													)
	2sin				(n			1 n2 sin2										n				1 n 2 sin2
	2sin				(n			1 n2 sin2							2			n				1 n 2 sin2
				2			2			1					2		1							2		2
																												).
	(			1 n			sin2					1 n sin2									n n sin2										(3)
	(			1 n			sin2					1 n sin2									n n sin2					2					(3)
						2		2		1							2			1				2		2

Показатели преломления n1 и n2 имеют очень близкие значения и поэтому в выражении (3) можем принять n1 n2 n и само выражение переписать в виде


2 nsin	1 n2 sin2			(1 n2 sin2			n2 sin2	) ,
2 nsin	1 n2 sin2	2		(1 n2 sin2			n2 sin2	) ,
2		2			2		2

т.е. 2 nsin			1 n2 sin2			.
т.е. 2 nsin			1 n2 sin2		2	.
	2				2

Для n=1,52, 60 и n 5 10 3 угол между составляющими луча после призмы

				1
2 5 10 3							1 1,522 /4рад 3,25 10 3 рад

	180		2
			3			0
		3,25 10			угл.град 0,18			11

4.26.Геометрической (лучевой) оптикой называют

предельный случай волновой оптики, когда	длина волны
0. В геометрической оптике отвлекаются	от волновой

природы света и рассматривают законы распространения света в прозрачных средах на основе представлений о свете как совокупности световых лучей – линий, вдоль которых распространяется световая энергия.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света в однородной среде; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света. Основные законы лучевой оптики вытекают из принципа Ферма. В первоначальной формулировке принципа, данной самим Ферма, утверждалось: свет распространяется по такому пути между двумя точками 1 и 2, для прохождения которого ему требуется минимальное время

		(2)	d	(2)	nd	1	(2)
							ds,		(1)
						c
		(1)		(1) c			(1)
где d -	геометрическая длина элемента пути,							(x, y,z)-
скорость	света	в данной		среде,		n n(x, y,z)-			показатель
преломления и		ds nd -		оптическая длина элементарного

пути. Конечная оптическая длина светового пути между точками 1 и 2 равна

(2)

L ds c .	(2)
(1)

Согласно принципу наименьшего времени, вариация интеграла (1), которым определяется время распространения света, должна обращаться в ноль:

(2)	ndl	(2)	ds
t				0,	(3)
	c
(1)		(1)	c

где - символ вариации. Условие (3) и есть математическое представление принципа Ферма. Однако условие распространения света (3) имеет больший смысл, чем принцип наименьшего времени (или кратчайшего оптического пути). В самом деле, условие (3) является условием экстремума, постоянства (стационарности). А не только минимума. В обобщённом смысле принцип Ферма утверждает: действительный путь распространения света между двумя точками (1) и (2) есть такой путь, для прохождения которого свету требуется экстремальное время t по сравнению с другими мысленно возможными путями между этими точками.

Для лучей, отражающихся и преломляющихся на плоской границе сред, выполняется условие минимума времени и оптического пути распространения света между двумя точками. Вариационный же принцип Ферма снимает это ограничение и, следовательно, применим для любых преломляющих поверхностей.

Получим с помощью принципа Ферма законы а) отражения света и б) преломления света.

а) Пусть исходящий из точки A луч света, отразившись от плоской поверхности MN среды (см.рис.1), попадает в точку B . При этом прямой путь луча в точку B исключим шторкой. Из точек A и В опустим перпендикуляры на плоскость MN, основания которых обозначим через A1 и B1.

Проведём плоскость П. содержащую точки A и В и перпендикулярную плоскости отражения MN. Между основаниями A1 и B1 прямой (А1В1) возьмём произвольную

точку O1 , через которую проведём прямую,

перпендикулярную ( A1 B1) и лежащую на плоскости P .

		B
A
M	O1	N
A	O1	B
1		1
P	C

	x		B
A	x
A
a1	i	i	a2
	i	1	n1
			n1
	b	O1	n
	b		2


Ясно,	что	AC CB AO1 O1B,		поскольку
AC CO1 AO1	и	BC CO1 O1B. Отсюда и		принципа
минимальности	светового пока		следует, что точка C
предполагаемого отражения луча			вместе с точками A и В

должна находиться в плоскости, перпендикулярной плоской поверхности раздела двух однородных сред. Эту плоскость называют плоскостью падения.

Теперь определим положение точки O1 на прямой ( A1 B1),

удовлетворяющее принципу Ферма в целом.

Из рис.2 видно, что предполагаемый световой путь

между

точками

при отражении

равен

L n (AO O B) n(

(b x)2 ). Из

условия

экстремума dL/ dx 0 находим:

b x

(4)

AO1 O1B

Поскольку x AO1 sini ,

b x O1Bsin( i1) , где

i и i1 -

углы между перпендикуляром к отражающей поверхности в точке O1 и падающим и отраженным лучом, из равенства (4)

следует i1 i. Знак минус показывает, что углы i и i1

расположены по разным сторонам нормали к поверхности.

б) Пусть имеются две граничащие прозрачные среды с показателями преломления n1 и n2 (рис.3). Луч, вышедший из

A
a1	i	n1
		n1
	O	n2
x	r	a2
	b	B
		B

точки A первой среды, после преломления на границе раздела будем следовать по некоторой прямой OB . Исходя из принципа Ферма покажем, что луч света из точки A в точку B распространиться в соответствии с законом преломления

sini/sinr n2 / n1 .

Рассуждения о том, что луч падающий

AO и луч

преломленный OB

находятся

одной

плоскости вместе с

перпендикуляром к поверхности раздела в точке O, остаются

теми же, что и в предыдущем случае.

точки A в

Оптический путь распространения света из

точку B равен

L n AO n

OB n

a2 x2

a2 (b x)2 .

Смысл геометрических величин x,a1,a2

и b

читается из

рис.3.

Из условия экстремума зависимости L(x)

получаем:

n1x

n2(b x)

AO sini

n2OBsinr

dt AO

n1 sini n2 sinr sini/sinr n2 / n1 .

(5)

x		P



	n		h'		h
	n

	S'			x

/////////////////////////////////////

Здесь

n1 и

n2 - абсолютные

показатели преломления однородных сред.

4.27. На рисунке показано взаимное положение источника света S , приёмника P , уровня жидкости и изображения источника S в произвольный момент времени от начала заполнения сосуда. При

заполнении сосуда уровень воды поднимается с известной скоростью . Вследствие этого изображение S источника в преломлённых лучах над поверхностью воды также будет

подвижным. Согласно формуле (1) задачи 4.19

при

=0,

изображение S будет находиться на глубине

h x/ n

под

поверхностью

воды.

Координата

изображения

его

скорость

равна

x h (n 1)x/ n,

((n 1)/n)

(n 1) /n

направлена

в сторону

наблюдателя P .

Относительный сдвиг частоты света, наблюдаемого над

поверхностью воды

1, где

. Поскольку c, / 1/(1 ) 1 c

(n 1) /(nc).

Для n 4/3 и 9мм/с относительный сдвиг частоты

/ 0,75 10 11 .

4.28. Построения хода луча после отражения в вогнутом и выпуклом зеркалах показаны на рис. a) и б).

Построения выполнены по одному из нескольких вариантов выбора дополнительных лучей. При этом на данном

луче выбиралась некоторая точка S , принимаемая за некоторый воображаемый точечный источник света. Из этой точки S отправлялись на зеркальную поверхность два луча 1 и 2, отражаемые от зеркала определённым образом. Точка пересечения S отраженных лучей 1 и 2 дает изображение точки S . Искомый луч направлен вдоль прямой, проходящей через точку падения данного луча S и точку-изображения S

(см. рис.).

4.29. Произвольную точку P на данном световом луче и точкуизображение P на отражённом луче назовём сопряжённым точками. Из заданных положений сопряжённых точек относительно главной оптической оси OO следует, что вариант, показанный на рис.4.6 [1] соответствует вогнутому сферическому зеркалу, а рис. 4.7 [1] – выпуклому.

При нахождении фокуса и положения зеркала (оптического центра), как показывает практика, рекомендуется действовать от обратного: подбирается ситуация в расположении зеркала и сопряжённых точек, примерно соответствующая заданному их взаимному положению. Это позволит увидеть дополнительные лучи, устанавливающие соответствие между данными сопряжёнными точками. На рис. 1 и 2 показаны необходимые построения.

PA=AM, NB=BP’
Рис.1	Рис.2

4.30. Требуется определить фокусное расстояние вогнутого зеркала, если:

а) расстояние между предметом и изображением =15см, поперечное увеличение =-2,0.

Построение изображения показано на рисунке. Воспользуемся формулой сферического зеркала

или

s1s2

(1)

s1 s2

Из

построения

хода лучей

AM MB ;

по

условию

s1 s2

(2).

Треугольники

OMB

подобные

и,

ONA

следовательно,

s2 /s1

h/h0

(3)

Из соотношений (2) и (3) получаем:

s1 /(

1), s2

1).

(4)

Подставляя (4) в (1), находим фокус вогнутого зеркала

2 15

см 10см.

(

1)(

4 2

б) Здесь

имеет

другой смысл;

в данном

случае

определяет смещение предмета из одного положения в другое. Сделаем обозначения расстояний от полюса

зеркала O до предмета и его изображения: s'1 , s'2 , для первого положения предмета, s1 , s2 - второго положения.

Принимая во внимание соотношение (3) пункта а), напишем следующие связи:

s'	2	1		,		2		; (5)
s'	2	1	s1	,	s2	2	s1	; (5)
по условию
		s1 s1 .						(6)
		s1 s1 .						(6)

На основании формулы сферического зеркала

располагаем двумя равенствами:
			1		1			1									(					1			1)/(							1		s1) ,				(7)
			1		1			1


			F		s1				1			s1
	1			1				1									(					2			1)/(								2					(8)
	1			1				1

																																			s1) .
		F		s1					2			s1
		F		s1					2			s1
Отсюда имеем равенство
										1			1											2			1				,
													1														1

											1				s1													s1
																								2
																								2
или с учётом (6)									/s1 1/(s ) ,																													(9)
где									/s1 1/(s ) ,																													(9)
где																2			(				1		1)
																														.								(10)


																1			(		2
																1			(		2				1)
Из равенства (10) получаем
а затем с помощью (6)										s1 /(1 ),																												(11)
а затем с помощью (6)
																1		/(1 ).																				(12)

								s2
Подставив (11) и (12), найдём фокусное расстояние
вогнутого зеркала						1 2
			F																1 2										, ,								0.



							1					2								2											1					2
							1					2								2						1
Для	1 0,50,									2				0,25															и				=15см					фокусное
расстояние F=2,5см.

4.31. С учетом заданного взаимного расположения точечного источника и фокуса вогнутого зеркала на рисунке представлен ход падающих и отраженных световых лучей. По формуле сферического зеркала находим положение изображения источника: s2 fs/(s f ), где s=s1. Световой

<<< < Предыдущая 1 23 / 323 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.82 Mб33263.pdf
#
15.11.20223.82 Mб13264.pdf
#
15.11.20223.83 Mб13265.pdf
#
15.11.20223.83 Mб23266.pdf
#
15.11.20223.84 Mб23267.pdf
#
15.11.20223.85 Mб03268.pdf
#
15.11.20223.86 Mб03269.pdf
#
15.11.20223.86 Mб13270.pdf
#
15.11.20223.87 Mб03271.pdf
#
15.11.20223.88 Mб13272.pdf
#
15.11.20223.89 Mб23273.pdf