Для границы воздух – вода (n=1,33) 0,02 2%.
4.198. С точки зрения потерь полезного светового потока условие параксиальности дает основание считать световой поток узким центральным пучком параллельных лучей, падающих на поверхности каждой из линз системы.
В предыдущей задаче 4.197 был найден коэффициент отражения нормально падающей естественной волны на поверхность среды с показателем преломления n:
(n 1)2 /(n 1)2
Пусть световой поток, падающий на систему, есть Ф0 .
Световой поток, прошедший первую линзу, после двух отражений от её поверхностей равен Ф1 (1 )2Ф0 . Поток после двух линз Ф2 (1 )2Ф1 (1 )2 2Ф0 и т.д. За N-ой линзой световой поток равен ФN (1 )2 N Ф0 (1 )2N Ф0 ,
Абсолютная и относительная потеря светового потока за счет отражений равны:
Ф Ф0 ФN Ф0 (1 (1 )2N ) ,
Ф/Ф0 1 (1 )2N ,
Для стекла n=1,5 и 0,04. При N=5 0,34.
4.199. На рисунке показана совокупность лучей, возникающих при падении света на плоскопараллельную пластинку с учетом многократных отражений.
Пусть интенсивность падающей волны равна I0 .
Интенсивности прошедших пластинку волн 0, 1, 2…. Обозначим с помощью скобок I (0), I(1), I(2) и т.д. При обозначении отраженных волн внутри пластинки применим штрихи, а их интенсивности символически изображать в виде
I(k ),I(k ).
I0
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
(k 1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k |
|
(k |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
k |
k+1 |
Интенсивность основной прошедшей волны 0, испытавшей двойное преломление, равна
I(0) (1 )2 I0 0 (1 )2 I0 . |
|
|
|
(1) |
Для волн k,k ,(k 1) и k 1 можно написать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
|
|
|
I(k) ( 1)I(k ),I |
(k ) I |
|
), |
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
2 |
I |
(k |
|
) |
2 |
Ik |
I((k 1) ) I(k |
|
|
I(k ) (1 ) |
|
|
|
Отсюда имеем рекуррентную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(k 1) 2I(k). |
|
|
|
|
(2) |
Построим последовательность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(0) 0(1 )2 I0, |
|
|
|
|
|
|
|
I(1) 2I(0) ( 2)1(1 )2 I0, |
|
|
|
I(2) 2I(1) |
( 2 )(1 )2 I0 ,.., |
|
|
|
|
I(k) ( 2 )k (1 )2 I0 ,… . |
|
|
|
|
Сумма членов этой последовательности определяет интенсивность прошедшей пластинку волны:
I I0 (1 )2 1 2 4 ....
Поскольку 1, выражение в фигурных скобках представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с первым членом b1 1 и знаменателем q 2
сумма членов этой прогрессии S b1 /(1 q) 1/(1 2 ). Таким образом,
232
I I0 (1 )2 /(1 2 ) I0 |
|
1 |
|
. |
(3) |
1 |
|
|
|
|
Отношение I0 / I 1 2 .
Относительная погрешность 1 I0 / I 2 .
4.200. Вопрос об отражении монохроматической волны при нормальном падении на границу двух диэлектриков рассматривался в задаче 4.197. Было установлено отношение
E n2 /n1 1E , n2 /n1 1
где E и E - амплитуды падающей и отраженной волн; n2 /n1 - относительный показатель преломления при условии, что световая волна направлялась из первой среды.
В данном случае свет направляется на слоистую структуру вакуум – некоторая прозрачная пленка – cтекло с показателями преломления n0 1, n и n соответственно. Для
амплитуд отраженных волн на первой и второй границах раздела имеем соотношения:
|
|
|
|
|
|
E1 |
n 1 |
E , |
(1) |
|
|
|
n 1 |
|
E2 |
n n |
E . |
(2) |
|
|
|
n n |
|
При этом предполагалось, что амплитуде прошедшей через первую границу волны E1 примерно равна амплитуде E падающей волны.
Приравнивая выражения (1) и (2) между собой, получим:
|
n 1 |
|
n n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
n. |
|
|
|
|
|
n 1 |
n n |
(n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, амплитуды световых волн, отраженных об обеих поверхностей пленки равны друг другу, если показатель
преломления пленкиn 
n , где n - показатель преломления
233
стекла. Естественно, это условие выполняется для определенной длины волны .
4.201. Для падающей естественной волны
|
|
|
|
|
|
I0 I0|| |
I0 /2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При почленном делении равенств (4.4.5) и (4.4.6), а также |
равенств (4.4.7) и (4.4.8) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
/ I|| |
|
cos2 ( |
1 |
|
2 |
) |
|
, |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
cos2 ( 1 |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 / I2|| |
cos2 ( 1 |
2 ) . |
|
|
|
(2) |
По |
условию |
1 45 . |
|
По |
|
закону |
|
преломления |
sin 2 sin 1 /n sin 45 /1,5 0,47 2 28 . |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
17 , |
2 |
73 ; cos2 ( |
1 |
|
2 |
) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 17 0.914; |
cos2 ( 1 |
2 ) cos2 |
73 0.085. |
Итак, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 /I1|| |
0,914/0,085 10,75;I2 /I2|| 0,914 . |
Степени поляризации отраженной и преломленной волн: |
|
P (I I|| )/(I I|| ) (I |
/ I|| 1)/(I / I|| 1) |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(10,75 1)/(10,75 1) 0,83; |
|
|
|
|
P |
(I / I|| 1)/(I |
/I|| 1) (0,9 1)/(0,9 1) 0,044. |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.202. Соответствующие построения приведены в разделе «Ответы и решения» сборника задач.
4.203. При прохождении через исландский шпат световой луч разделяется на два, один из которых называется обыкновенным и обозначается через о, второй – необыкновенным и обозначается через е. Кристалл
исландского шпата является одноосным и отрицательным. В нем лучи о и е распространяются с разными скоростями
|
|
0 c/n0 и e c/ne , |
|
где n0 и ne |
- показатели преломления соответствующих лучей. |
Для исландского шпата n0 ne |
и, следовательно, 0 e . |
B |
C |
o |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ест.свет |
E0 |
o |
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
Ee |
A |
D |
|
|
|
Рис.1 |
|
|
O Рис.2 |
Направление в кристалле, вдоль которого лучи о и е не разделяются, называется оптической осью кристалла. Плоскость, содержащая падающий луч и параллельная оптической оси кристалла, называется главным сечением кристалла. Обыкновенный и необыкновенный лучи поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях:
обыкновенный – |
в главном сечении |
(вектор E0 колеблется |
перпендикулярно |
этой плоскости), |
необыкновенный |
- |
поляризован в плоскости, перпендикулярной главному
сечению (вектор Ee колеблется в главном сечении). Если электрическую проницаемость кристалла вдоль оптической оси обозначить через || , а в направлениях, перпендикулярных
этой оси обозначить |
через |
, |
то показатели преломления |
лучей о и е будут равны n0 |
|
|
и e |
|
, следовательно, |
|
|
|| |
v0 c/ |
|
и ve c/ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
Явление двулучепреломления позволяет получать линейно поляризованные лучи во взаимно перпендикулярных направлениях. Однако при обычных толщинах кристаллических пластинок пространственное разделение лучей о и е мало.
Для осуществления достаточного расхождения этих лучей прибегают к построению поляризационных приборов, представляющих собой комбинации призм из кристаллов. К одному из таких приборов относится призма Волластона.
Призма Волластона состоит из двух прямоугольных призм исландского шпата со взаимно перпендикулярными оптическими осями. Призмы склеены по косым граням (см. рис.1). В призме АВС оптическая ось параллельна грани АВ, в призме АСД оптическая ось параллельна ребру С.
В первой призме АВС лучи о и е распространяются по направлению падающего луча. Это хорошо видно из построений волновых и их огибающих поверхностей для этих
лучей (рис.2). Электрический вектор E0 луча о колеблется перпендикулярно главному сечению кристалла (плоскости
рисунка); вектор Ee луча е колеблется в главном сечении.
Обыкновенный и необыкновенный лучи, поляризованные во взаимно перпендикулярных направления, падая на грань АС второй призмы АСD в принципе должны раздваиваться и преломляться. Однако из-за взаимной перпендикулярности оптических осей призм АВС и АСD раздвоения лучей о и е, возникших в первой призме, не происходит. Убедимся в этом следующим образом.
Направим на кристалл линейно поляризованный свет
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с амплитудой |
E . |
Угол между |
|
|
E |
|
|
плоскостью |
колебания |
в |
E0 |
|
О |
Главн.сечение |
|
падающем свете |
и главным |
|
|
|
О |
сечением кристалла обозначим |
Поляриз. |
|
Ee |
|
|
через (см. |
рис. 3). Тогда |
луч |
|
Рис.3 О |
|
|
амплитуды |
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
электрического вектора для обыкновенного и необыкновенного лучей будут
E0 Esin и Ee Ecos .
Если теперь вместо вектора E взять вектор амплитуды
E0 обыкновенного луча, возникшего в первой призме, и
который параллелен главному сечению призмы ( 0), то
E0 E0 sin 0 0,Ee Ee cos0 E0.
Вектор Ee амплитуды необыкновенного луча
перпендикулярен главному сечению второй призмы ( 90 ), и, следовательно,
E0 Ee ,Ee 0.
Итак, из-за взаимной перпендикулярности оптических осей призм АВС и АСD следует, что луч обыкновенный в первой призме становится необыкновенным во второй, и наоборот.
O O
n |
C |
|
|
|
ne |
C |
|
|
|
|
0 |
|
e |
|
|
|
|
|
O O |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
|
|
|
n0 |
E0 |
|
1 ne |
Ee |
|
|
2 |
2 |
о |
A |
|
|
|
|
A |
|
|
E0 |
O O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O O |
|
|
Рис.4 |
|
|
|
Рис.5 |
|
|
|
Наряду с тем, что волны с |
E0 |
и |
Ee |
преобразуются |
соответственно |
в |
волны с Ee |
и |
E0 , |
одновременно и |
преломляются на границе АC обеих призм (см. рисунки 4 и 5). Относительные показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в первой призме на границе раздела
призм будут ne /n0 |
и |
n0 /ne Следовательно, по закону |
преломления |
|
|
sin /sin 1 |
ne |
/n0 и sin /sin 2 n0 /ne , |
где 1 и |
2 -углы преломления (см. рисунки 4 |
и 5). |
|
Для |
589нм |
у |
исландского |
шпата |
ne |
1,486 и |
n0 1,658. По условию 30 . По этим данным имеем |
|
|
sin 1 0,558 и sin 2 |
0,448, |
|
|
|
или 1 |
33,91 , 2 26,63 . |
|
Лучи е и о во второй призме относительно направления |
падения отклоняются в разные стороны на углы |
|
|
|
1 |
1 3,91 и 2 2 4,37 . |
Падая на |
грань |
СD под углами |
1 и |
2 , |
эти лучи |
вследствие преломления отклоняются на некоторые углы 1 и
2 . Если |
учесть малость углов |
1 и |
2 , углы |
1 и 2 |
примерно будут равны: |
|
|
|
|
1 ne 1 5,81 , 2 n0 2 5,59 . |
|
Углы |
1 и 2 близки по |
своим |
значениям. |
Поэтому |
можно сделать вывод о том, что линейно поляризованные лучи на выходе из призмы Волластона идут в разные стороны практически симметрично относительно направления падения, образуя между собой угол, равный
1 2 11.4 .
4.204. Координация той или иной заданной электромагнитной волны показана на рисунке. Во всех трех случаях мы сталкиваемся со сложением двух взаимно
перпендикулярных |
гармонических |
колебаний |
одинаковых |
частот. |
При |
этом |
мы |
X |
|
располагаем |
уравнением |
|
траектории конца |
амплитуды |
E |
Ex k |
результирующего |
электри- |
Z |
ческого вектора E волны в |
0 |
Y |
z0 |
некоторой плоскости z z0 : |
|
Ey |
|
|
|
E |
2 |
|
|
Ey2 |
|
2Ex Ey |
cos sin2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1) |
|
|
|
Eox2 |
|
Eoy2 |
EoxEoy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
- |
разность |
фаз |
|
между |
колебаниями |
составляющих |
Ex |
и |
|
|
Ey |
|
волны. По |
условиям |
задачи |
Eox Eoy E . |
Для |
упрощения |
символики |
величин |
введем |
обозначения: |
x Ex , |
y Ey , |
E0 |
E. |
В |
этих |
обозначения |
уравнение (1) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
2xy cos E02 |
sin2 . |
(2) |
Рассмотрим предложенные варианты волн. |
|
|
|
а) Ex Ecos( t kz), |
|
Ey |
Esin( t kz). |
|
|
|
Соответствующие |
|
|
колебания |
в |
|
некоторой |
плоскости |
z z0 в новых обозначениях имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x E0 cos( t kz0 ). |
|
|
|
|
(3) |
y E0 sin( t kz0 ) E0 cos( t kz0 |
/2) . |
(4) |
Здесь |
/2, cos 0, sin 1 |
|
и |
уравнение (2) |
получает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
E02 . |
|
|
|
|
|
|
(5) |
Уравнение (5) определяет окружность радиуса E0 .
Отсюда следует, что данная волна имеет круговую поляризацию. Согласно уравнениям (3) и (4), вектор
результирующей амплитуды E вращается против хода часовой стрелки с циклической частотой .
б) x E0 cos( t kz), y E0 cos( t kz /4).
Здесь /4,sin cos 2 /2 |
|
и |
|
|
|
|
уравнение |
(2) |
получает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
xy E02 /2. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Перейдем к другим |
|
координатам |
x |
|
|
и y точки с |
помощью преобразований поворота на угол /4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2(x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
y )/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
y )/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка (8) и (7) в (6) дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y'2 |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E0 / 2 |
|
)2 |
(E0 / 2 |
|
)2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Равенство (9) есть уравнение эллипса с полуосями |
|
a E0 / |
|
|
|
|
и b E0 / |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
2 |
|
2 |
|
Вывод: рассматриваемая волна имеет эллиптическую |
поляризацию с максимальной амплитудой колебания Emax |
a |
вдоль оси Ox', составляющей с осью Ox угол φ=45˚.
Электрический вектор E (ωt,z) совершает вращение по часовой стрелке.
|
|
в) x E0 |
cos( t kz), |
y E0 cos( t kz ). |
|
|
|
Здесь |
, |
cos 1,sin 0 и уравнение |
(2) |
принимает вид |
|
y x |
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
x |
|
E0 |
и |
|
y |
|
E0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что данная волна имеет линейную поляризацию вдоль прямой y x .
4.205. Имеем пучок частично поляризованного света, нормально падающий на двулучепреломляющую пластинку в четверть волны и последующий поляризатор. Направление пучка свяжем с положительным направлением оси Z .
