3268
.pdf
|
|
/ |
|
d |
|
460 |
|
|
0,05 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
мм 6см. |
|
|
|
|
|
|
k |
0,13 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||
4.157. |
|
Из |
условия |
дифракционного |
максимума |
|||||||||||
dsin m |
длят компонент |
дублета |
|
с 1 310,154нм |
и |
|||||||||||
2 310,184нм |
|
спектральной |
линии в |
спектрах |
первого |
и |
||||||||||
второго порядков находим соответствующие углы дифракции: 1) k=1; sin 1 1 /d , sin 2 2 /d . Отсюда имеем:
sin 2 sin 1 ( 2 1)/d;
для малых углов
2 1 ( 2 1)/d /d,
где 2 1 0,030нм.
Но по условию d 1/n (1/250) 10-3 м. Расстояние на фотопластинке между наблюдаемыми компонентами дублета
равно |
x1 f f /d , где f – фокусное расстояние |
линзы. |
Подставляя числовые значения в выражения для x1 , |
получим:
|
x =0,80·0,030·10-9/(1/250)·10-3 =6 мкм. |
|
||||||
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 /d, x2 |
2 x1 |
12мкм. |
|||
2) k=2. В этом случае |
||||||||
Полное число штрихов решётки |
|
|
|
|
||||
N n 250 |
1 25мм 6250. |
|
|
|
|
|||
|
|
мм |
|
|
|
|
Л |
P |
. |
Разрешающая |
сила |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
решетки в области первого |
b |
|
|
|
|
|||
максимума |
|
|
|
|
|
|||
|
|
S |
|
|
|
|||
R / 1 kN k 1 6250, |
|
f |
|
|
||||
в |
области |
второго |
|
|
|
|
|
|
максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R / 2 |
kN k 2 |
12500. |
|
|||
|
|
|
|
181 |
|
|
|
|
Отсюда получаем минимальные значения разности длин
волн, разрешаемых дифракционной решёткой: |
1 0,05нм, |
|||
2 0,025нм. |
Линии спектра с 1 |
и |
2 |
разрешаются |
решёткой: если |
j 2 - 1. По условию |
2 - 1=0,03 нм. . Из |
||
сравнения видим, что 1 2 - 1, а 2 |
2 - 1. Это означает, |
|||
компоненты дублета в первом порядке не разрешаются решёткой, а во втором порядке - разделяются.
4.158. Максимальная разрешающая способность дифракционной решётки достигается в области максимумов
наибольшего |
порядка |
наблюдаемого |
спектра. |
Соответствующий порядок km |
спектра определим примерным |
||
выражением |
km d / , где |
d – постоянная |
решётки. |
Нормальный дифракционный спектр наблюдается в том случае, если световые лучи от крайних щелей решётки удовлетворяют условию пространственной когерентности. Исходя из этого условия, сделаем оценку максимальной ширины входной щели S (см. рисунок).
|
|
Итак, |
для наибольшей разрешающей |
силы |
решётки |
||||||
имеем: |
|
kmN Nd / , |
где |
N – |
полное |
число |
штрихов |
||||
|
|||||||||||
решётки. Из равенства |
|
Nd / , |
получаем соотношение |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
Nd.. |
Величина |
2 |
/ |
определяет |
радиус |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
когерентности интерферирующих лучей, Nd . С другой стороны, радиус когерентности связан с углом когерентности
, т.е. углом, под которым видится светящаяся поверхность:
/ . В рассматриваемом случае угол b/ f , где b –
ширина входной щели, f – фокусное расстояние линзы. Таким образом, получаем примерные равенства: сначала f /b , а затем Nd f /b. Отсюда находим максимальную ширину
182
входной щели S с точки зрения когерентности дифрагирующих |
|||||||||||||
лучей: bm f / Nd . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для заданных значений f = 25 см, d = 5,0 мкм, N = 1000 |
||||||||||||
и = 600 нм величина bm = 30 мкм. |
|
|
|
|
|||||||||
Итак, |
когерентность |
|
дифрагированных |
лучей |
|||||||||
гарантирована, если ширина щели b f / Nd 30мкм. |
|
|
|||||||||||
4.159. |
В |
|
рассматриваемом |
случае |
освещение |
||||||||
предметной точки производится параллельным пучком |
|||||||||||||
монохроматического света с длинной волны . Предмет |
|||||||||||||
расположен на расстоянии |
от фотопластинки. |
|
|
|
|||||||||
Плоская |
опорная |
волна |
и |
|
B |
|
|
||||||
дифрагированная |
от |
|
предметной |
|
1 |
M |
|||||||
точки |
A |
(см. |
рисунок) |
создают |
A |
2 |
rk |
||||||
интерференционное |
поле. |
Эти |
|
|
O |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
волны, интерферируя, дают на |
|
|
|
Ф |
|||||||||
фотопластинки |
систему |
светлых |
и |
|
|
|
|||||||
темных колец, а после проявления |
|
|
|
|
|||||||||
плёнки |
- |
так |
|
называемую |
|
|
|
|
|||||
голограмму точки. Голограмма представляет собой зонную |
|||||||||||||
пластину (решётку) с синусоидальным распределением |
|||||||||||||
прозрачности, которая при восстановлении предметной волны |
|||||||||||||
ведёт себя одновременно как положительная и как |
|||||||||||||
отрицательная линза, в результате чего наблюдается |
|||||||||||||
действительное и мнимое изображение точки. |
|
|
|
||||||||||
|
В центре голограммы ввиду равенства нулю разности |
||||||||||||
хода между интерферирующими волнами (предметной и |
|||||||||||||
опорной) возникает максимум. Для точки M на расстоянии r от |
|||||||||||||
центра голограммы разность хода, приходящих в эту точку |
|||||||||||||
лучей BM и AM, равна |
2 |
r2 . Если кратна длине |
|||||||||||
волны, то в точке M будет наблюдаться максимум |
|||||||||||||
освещённости, а расстояние r будет определять радиус |
|||||||||||||
светлого кольца некоторого порядка |
k. Итак, имеем условия |
||||||||||||
наблюдения k-го светлого кольца: |
|
|
|
|
|
||||||||
183
|
|
|
|
|
|
2 |
r2 |
k , |
k 0,1,2... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Отсюда получим r2k |
k2 2 |
2k . Поскольку |
k2 2 |
2k , |
|||||||||||||||||||||||||||
то радиус k- го кольца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rk |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) Для заданных значений k=10, =620 нм |
|
и = 50 см, |
||||||||||||||||||||||||||||
радиус десятого кольца голограммы r10 =2,5 мм. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
б) Радиус колец голограммы порядков k |
|
и k+1 равны |
||||||||||||||||||||||||||||
rk |
|
|
и |
rk 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Ширину |
k-го |
кольца |
||||||||||||||
|
2k |
|
2(k 1) |
||||||||||||||||||||||||||||
определим выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
1 |
|
1) |
||||||||
|
|
|
2(k 1) |
2k |
2k |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
2k |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выражая порядок k из (1) и подставляя (2) получим:
r . r
4.160. На голограмме регистрируется интерференционная картинка, возникающая при наложении световой волны, рассеянный объектом, и когерентной с ней опорной волны. Представим, что фотопластинку падает две когерентные
плоские |
волны – предметная 1 и |
опорная 2 (см.рис.1). В |
|||||
|
|
|
|
результате их |
интерференции |
||
|
|
Ф |
|
на поверхности фотопластинки |
|||
|
|
|
устанавливается |
стационарное |
|||
|
|
|
I(x) |
распределение освещённости в |
|||
2 |
0 |
виде |
системы |
параллельных |
|||
|
|
|
|
одинаковых |
|
полос, |
|
|
|
|
|
|
ориентированных |
||
1 |
|
|
|
перпендикулярно |
плоскости |
||
|
|
x |
|
рисунка. |
от |
Зависимость |
|
|
|
Рис.1 |
|
интенсивности |
координаты |
||
x выражается формулой
184
|
|
|
I(x) I1 I2 2 |
I1I2 cosk (x) , |
(1) |
||||||
где |
I1 и |
I2 - интенсивность предметной |
и |
опорной |
волн, |
||||||
k |
2 |
- волновое число, а |
(x) xsin - |
разность их хода |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(точка x=0 выбрана там, где 0). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Расстояние между соседними полосами, как следует из |
||||||||||
формулы (1), равно |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
ksin |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
||
|
При |
соответствующей |
|
экспозиции |
и |
последующей |
|||||
обработки фотопластинки получим на голограмме дифракционную решетку с синусоидальным пропусканием световой волны. Структура зарегистрированных на голограмме полос содержит информацию о распределении фаз световых колебаний в предметной волне. На рис.2 приведен один из многих способов получения голограммы объекта. На этом рисунке обозначим: З – зеркало, П – предмет, Ф – фотопленка.
С помощью подобной голограммы можно воспроизвести записанную на ней предметную волны. При восстановлении
предметной |
волны |
с |
помощью |
|
|
|
|
||
голографической |
решетки |
с |
З |
||||||
синусоидальным |
пропусканием |
||||||||
|
|
|
|
||||||
возникают три главных |
максимума |
|
|
|
|
||||
порядков |
m 0 |
и |
m 1. |
|
|
|
|
||
Наибольший интерес для голографии |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
представляет волна с m 1. |
|
|
|
|
|||||
Важное |
свойство |
голограмм |
|
|
|
|
|||
заключается в том, что восстановить |
|
|
|
|
|||||
предметную волну можно с помощью |
П |
|
|||||||
небольшого |
участка |
голограммы. |
Ф |
||||||
|
|
|
|||||||
Каждый |
участок |
|
голограммы |
|
|
|
|
||
содержит в |
закодированной |
форме |
|
Рис.2 |
|||||
информацию о всех точках предмета,
185
|
|
|
так как при её записи свет, |
||||
|
|
|
рассеянный |
каждой |
точкой |
||
|
|
|
предмета, падает на всю |
||||
|
|
|
поверхность фотопластинки. |
||||
d |
u |
D |
Как |
|
уже |
отмечалось, |
|
опорная |
волна |
при |
записи |
||||
|
|
|
голограммы |
должна |
быть |
||
|
|
когерентна |
|
со |
светом, |
||
|
|
|
|
||||
|
Рис.3 |
|
рассеянным |
всеми |
точками |
||
|
|
|
объекта. |
|
Размеры |
области |
|
пространственной когерентности должны быть больше |
|||||||
размеров голограммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При голографировании сложного объекта его освещают |
||||||
когерентным источником. Рассеянные объектом волновое поле |
|||||||
можно представить в виде совокупности плоских волн. Каждая |
|||||||
из них при интерференции с опорной волной, получаемой из |
|||||||
того лазерного пучка, создает на фотопластинке свою систему |
|||||||
интерференционных полос с характерными для неё |
|||||||
ориентацией и периодом. |
|
|
|
|
|
||
|
Минимальное расстояние d между близкими точками |
||||||
предмета, разрешимыми на изображении при наклонном |
|||||||
падении опорной волны, дается выражением: |
|
|
|||||
d |
|
. |
(2) |
|
|||
|
2sin u |
|
|
Здесь 2u – угол, под которым из места расположения точек предмета видна действующая часть голограммы (см. рис. 3).
Пусть минимальный размер действующей части
голограммы есть Dmin . Если |
учесть |
малость угла u , то |
||||||||
формулу (2) можно представить в виде |
l |
|
||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2u |
|
Dmin |
|
|
||||||
|
|
|
l |
Dmin |
||||||
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||
|
|
D |
|
|
|
. |
(3) |
|||
|
|
min |
|
|||||||
|
|
|
|
d |
|
|
||||
186
Итак, размер голограммы, разрешающей детали предмета
длина, равной d, должен быть больше величины |
|
l |
, |
то есть |
|||||
|
|
||||||||
|
l |
|
|
|
|
d |
|
||
D |
. Для |
60 |
мкм, =60 см, и d=10 |
мкм |
размер |
||||
|
|||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
||
фотопластинки D 2,4 см.
4.161. На рис.1 показано прохождение светового луча через призму. Указаны углы падения и преломления луча на гранях призмы. Угол отклонения выходящего луча по отношению к направлению падающего, в соответствии с обозначениями, равен i r2 . Исходя из этого геометрического соотношения и закона преломления световых лучей, можно показать, угол отклонения будет минимален,
|
|
|
|
C |
|
|
|
D |
E |
i1 |
|
|
|
|
r2 |
S |
|
b |
|
r |
|
|||
1 |
i2 |
|
A |
B |
|
еслиi r2. Это |
будет означать пути |
параллельность луча |
внутри призмы её основанию. |
|
|
Вследствие |
дисперсионной |
способности призма |
разлагает сложный свет в соответствующий спектр. С этой точки зрения призма является спектральным прибором, характеризуемым разрешающей способностью R / . Разрешающая способность призмы определяется прежде всего показателем преломления материала призмы и её геометрическими характеристиками. Наряду с этими параметрами, при оценке разрешающей способности спектрографа необходимо учитывать дифракцию световых лучей от краёв призмы, которая ограничивает величину разрешающей способности прибора. Предельное значение
187
разрешающей силы призменного спектрографа с учётом дифракции можно оценить следующим образом.
Немонохроматичность спектральной линии λ обозначим интервалом . Согласно критерию Рэлея максимум линии с длиной волны λ должен совпадать с первым минимумом линии( 0). Запишем оба этих условиях через оптические разности хода крайних лучей (см. рис.2), рассматривая призму как некоторую щель в экране:
bn (DC CE) k k 0 0 (для центрального максимума);
n(n n) (DC CE) k( ) |
|
k 1 , |
|
|
|
|
|||
поскольку . |
|
|
|
|
Итак, имеем: |
|
|
|
|
bn (DC CE) 0, |
|
|
|
(1) |
n(n n) (DC CE) . |
(2) |
|||
Вычитая (1) из (2), получим |
|
|
|
|
b n . |
|
|
|
(3) |
Поделив (3) на , найдём |
/ b n/ . |
|||
Разрешающая способность спектрального прибора R / определяется положительной величиной, в то время как величины n и имеют противоположные знаки. Поэтому придельную разрешающую силу прибора определим величиной
R |
|
b |
n |
. |
(4) |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dn |
|
|
||||
4.162. Полагаясь на формулу |
|
b |
|
, определяющей |
||||||
|
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
разрешающую способность призмы, дадим ответы на пункты задачи. В условиях задачи показатель преломления стекла призмы n A B/ 2 , где В = 0,010 мкм2; ширина основания призмы b = 5,0 см.
188
а) |
dn |
|
d |
(A B/ 2) 2B/ 3 ; в окрестности |
длины |
|||||||||||||
d |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
волны 1 |
434нм разрешающая сила |
|
||||||||||||||||
|
|
R1 5 10 2 2 0,01 10 12 /(434 10 9)3 1,2 104; |
||||||||||||||||
В области длины волны 2 656нм |
|
|||||||||||||||||
|
R2 |
5 10 2 |
2 0,01 10 12 |
|
/(656 10 9)3 0,35 104. |
|
||||||||||||
б) Ширина основания призмы по данным других |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
величин |
равна |
b R/ |
|
. Для дублета жёлтой |
линии |
|||||||||||||
d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
натрия 2 - 1=0,6нм; разрешающая сила |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
598 |
982; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дисперсия |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dn |
|
2 0,01 10 12 |
|
9,7 104(1/ м3); |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(590 10 9)3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ширина основания призмы
b 982/9,7 104 1,0см.
4.163. Разрешающая способность решётки с N=104
штрихов |
|
во |
втором |
порядке |
|
|
|
|
kN |
|
|
|
2N. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 2 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разрешающая |
способность |
призмы |
|
|
|
b |
dn |
|
|
. По |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
пp |
|
d |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
условию |
|
|
|
|
|
. Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
пp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2N b |
dn |
b 2N/ |
dn |
|
2 104 |
(м) 20см. |
||
d |
d |
0,16 106 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
4.164. Явление дифракции имеет место в любых |
||||||||
оптических |
системах |
(телескопе, зрительной трубе, |
||||||
189
фотоаппарате и др.). Каждая точка объекта, являясь самостоятельным источником света, отображается в фокальной плоскости объектива дифракционным кружком. Это обстоятельство ограничивает число деталей, которые могут быть разрешены в изображении.
Оправу объектива оптического прибора, в частности, зрительной трубы, можно рассматривать как отверстие в непрозрачном экране. Параллельный пучок лучей, прошедших через круглое отверстие, а затем через линзу, должен был бы собраться в одну точку в главной фокальной плоскости линзы. Благодаря же волновой природе света в главной фокальной плоскости получается сложная дифракционная картинка, в центре которой наблюдается светлое пятно, вокруг которой возникают попеременно темные и светлые кольца. Угловое расстояние между главным максимумом дифракционной
картины и ее первым темным кольцом равно |
|
sin 1,22 / D, |
(1) |
где D - диаметр отверстия. Угловые расстояния в пределах дифракционных картин определяются углами между прямыми, проведенные из центра отверстия (объектива) к соответствующим точкам дифракционных картин.
При малом угле по формуле (1) |
угловой радиус |
первого темного кольца приближенно равен |
|
1,22 / D . |
(2) |
Линейный размер этого кольца |
|
s, |
(3) |
где s - расстояние от линзы до изображения. В случае удаленного объекта, s f , где f - фокусное расстояние линзы.
Теперь сделаем оценку предельной разрешающей силы зрительной трубы и минимального расстояния ymin между двумя точками объекта при заданном его удалении , при котором эти точки с помощью зрительной трубы наблюдаются еще раздельно. Здесь важным условием разрешения точек является условие когерентности лучей, исходящих от этих точек.
190