3268

(m 1/2) 0 2(m 1) 0 /2 k 0 /2, где k – нечетные числа,

возникают минимумы интенсивности. Оба условия можно записать одним:

Отсюда для радиусов светлых и темных колец имеем:

r R 0(k 1)/2 . (5)

Четным k соответствуют радиусы светлых колец, нечетным k – радиусы темных колец. Значению k=1 соответствует r=0, т.е. точка касания пластинки и линзы. В этой точке наблюдается минимум интенсивности.

Ширину темной (светлой) полосы найдем следующим образом: возьмем дифференциалы от обеих частей равенства

(5) и перейдем к конечным разностям, в результате получим

r R k /4r.

Поскольку индекс k максимума пробегает значения через

4.97. Когда плоско-выпуклая линза своей выпуклой стороной касается стеклянной пластинки, оптическая разность хода лучей, возникающих при отражениях одного и того же падающего луча, равна

см. формулу (3) задачи 4.96.

Если линзу отодвинуть, оптическая разность хода отраженных лучей, обусловливающих тот же порядок интерференционного кольца, станет равной

1 r12 / R 2h /2.

Из условия максимума (минимума) одного порядка имеем равенство

r12 / R 2h r2 /R.

Отсюда получаем

r1 r2 2Rh .

111

Для i-го и j-го темных колец (i>j) имеем

4.100. В системе двух плоско-выпуклых линз, соприкасающихся своими сферическими поверхностями, интерферирующие световые лучи имеют оптическую разность хода, равную

Удовлетворяя выражение (1) условию максимума освещенности (наблюдению светлого кольца), получим:

где m=1,2,… - порядок кольца.

Теперь приведем формулу, определяющую оптическую силу тонкой линзы,

Ф (n -1)( 1 1 ) , R1 R2

где R1 и R2 – радиусы сферических поверхностей линзы. Для плосковыпуклой линзы (R1 =R , R2= ). Оптическая сила

Ф (n -1)/R .

Для системы двух соприкасающихся плоско-выпуклых линз оптическая сила

где R1 и R2 – радиусы их сферических поверхностей. Отсюда имеем

113

интерференционные кольца Ньютона. Поскольку радиусы сферических поверхностей линз велики по сравнению с радиусом интерференционного поля, картину колец можно наблюдать в параллельных лучах, считая их практически перпендикулярными отражающими поверхностями. Это позволяет легко найти оптическую разность хода отраженных

2n0h 0 /2 , где

114

Выражение в скобках найдем по известной величине оптической силы данных линз Ф Ф1 Ф2 . Для выпуклой симметричной линзы Ф1 2(n 1)/ R1 , для вогнутой симметричной линзы Ф2 2(n 1)/R2 , где R1, R2 – радиусы сферических поверхностей соответствующих линз. Тогда

4.102. В рассматриваемом случае при отражениях падающего луча, как на сферической поверхности, так и на первой поверхности оптически «твердой» пластинки, происходят скачкообразные изменения фазы на . Полное изменение фазы при отражениях равно 2 и, следовательно, действие этого фактора на результат наложения отраженных

115

лучей исключается. Тогда условие наблюдения m-го темного кольца Ньютона получает вид

темного кольца

rm 1 103 0,61 10 3(5 0,5)1,63мм 1,4мм.

4.103. Приборы, в основе устройства которых положено явление интерференции, называются интерферометрами. С помощью интерферометров решают с высокой точностью многие физические и технические задачи. Интерферометры, где используются два пространственно разделенных луча, между которыми создается определенная разность хода, называются двулучевыми. Существует много разновидностей двулучевых интерферометров. Одним из простейших интерферометров является интерферометр Жамена. Его схема представлена на рис.1. Полное описание интерферометра не является предметом рассматриваемой задачи. Однако

3

116

некоторое представление о нем необходимо.Основную часть интерферометра Жамена составляют две идентичные толстые плоскопараллельные пластины А и В. Из точечного источника S луч света i1 под некоторым углом направляется к пластине A. В результате отражений на гранях этой пластинки возникают два параллельных луча 1 и 2 (в общем случае, лучи 1 и 2 не совсем параллельные). Каждый из этих лучей, упав на вторую пластину В, разделяются на два луча. В результате из

Здесь h - толщина, n - коэффициент преломления каждой из пластин; r и i - углы преломления и падения луча соответственно; - малый угол между пластинами. Как следует из (1) разность хода между интерферирующими лучами зависит от толщины пластин, угла между ними и угла падения луча на пластинку.

Из соотношения (3) видно, что угловая ширина интерференционного максимума, т.е. ширина полосы, зависит от : чем меньше , тем шире интерференционная полоса. Следовательно, для получения более четкой интерференционной картины угол между пластинами должен быть минимальным. При =0 (параллельном расположении пластин) разность хода 0 и, следовательно, системы интерференционных полос не наблюдается. Чтобы в этом случае наблюдать интерференционную картину,

117

интерференционной картины в существенной мере зависит от распределения интенсивности интерферирующих лучей при переходе от одного максимума к другому соседнему максимуму. Обратим

интенсивность пучка лучей 3 – всего лишь 0,01%. Получается, что третий и следующий световые пучки практически отсутствуют, и мы будем наблюдать почти равномерно освещенную поверхность пластинки, т.е. очень слабую обозначенность интерференционных по-лос. Отсюда следует, что наблюдаемая картина полос зависит от отражательной способ-ности пластин. Коэф-фициент отражения све-та можно увеличить пу-тем нанесения специальных пленок на поверхность пластин и тем самым выравнить интенсивности пучков 2 и 3. При этом резкость максимумов интенсивности и глубина минимумов интерференционной картины возрастут.

Интенсивность I суммы интерферирующих лучей 2 и 3 определяется разностью фаз между ними и коэффициентом отражения пластин, как параметра системы. В пределах одной полосы (или разности хода, равной ) разность фаз между лучами 2 и 3 в пределах одной полосы изменяется от 0 до 2π. Коэффициент отражения указанным выше способом можем варьировать до значений близких к единице.

118

Соответствующий расчет интенсивности интерферирующих лучей дает определенную зависимость отношения I( , )/Imax

на промежутке между соседними максимумами. Здесь Imax -

интенсивность светового пучка в максимуме интерференции.

становятся очень узкими, а минимумы занимают основную часть промежутка между максимумами, при этом Imin 0. Центр минимума располагается на середине указанного промежутка.

Теперь в интерферометр направим свет, состоящий из двух компонент с очень близкими длинами волн 1 и 2 ,

2 1 . В этом случае общая интерференционная картина будет представлять собой наложение одной системы полос на другую. При этом относительный сдвиг полос для компонент

практически незаметным и общая картина в центральной части будет четкой. Однако для больших порядков m разность хода лучей 1 и 2 увеличивается и одноименные максимумы этих волн разделяются, общая интерференционная картина начинает размываться. При дальнейшем увеличении m сдвиг этих максимумов также увеличивается. При определенном порядке максимум волны с 1 совпадет с минимумом интенсивности волны 2 . Переходя к еще большему порядку,

максимумы интенсивности волны с 1 будет приближаться к предыдущему максимумы интенсивности волны с 2 . Из сказанного следует, что наиболее размытая (наихудшая) интерференционная картина будет соответствовать такому порядку m, когда максимум интенсивности волны с 1

119

накладывается на минимум интенсивности волны 2 . Из этого

4.104. Приведем схему (см.рисунок) и дадим краткое описание интерферометра Майкельсона. Интерферометр состоит из двух пластин P1 , P2 и двух зеркал S1 , S2 .

Полузеркальная пластинка P1 разделяет падающий на него пучок лучей на два (1 и 2), которые отразившись от зеркал S1

и S2 и, пройдя определенным образом систему пластин,

направляется к оптике наблюдения. Плоскость S1 , показанная на рисунке, определяет положение мнимого изображения зеркала S1 , даваемое пластиной P1 . Пластинка P2 при отсутствии на ней зеркального покрытия служит компенсатором дополнительной разности хода лучей 1 и 2 при

120