5. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений

Для проверки правильности гипотезы о законе распределения результатов измерений необходимо определить доверительную вероятность того, что экспериментальные данные не противоречат этой гипотезе. Обычно считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, еслибольше 0,1. Если для производственных целей гораздо важнее выявить хотя бы слабую согласованность эмпирического и теоретического распределения, чем ошибиться и считать гипотезу верной при значительных расхождениях, допускаемое значение вероятности уменьшают.

Методики определения согласия распределений приведены в ГОСТ 11.006–74 «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим». Стандартом предусмотрено три критерия согласия: Колмогорова, — хи-квадрат Пирсона и— омега-квадрат Мизеса. Наиболее мощным из них является критерий омега-квадрат. Его применение требует большого количества вычислительных работ; тем не менее, оно обязательно, когда число результатов измерений меньше 200. Критерий хи-квадрат предполагает значительное число интервалов разбиения, в зависимости от объема выборки — от 18 до 40. С практической стороны правильное применение критерия хи-квадрат требует выбора неравных интервалов и таким образом является сложным.

Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними подставляется в выражение:

где — объем выборки,— эмпирическая функция,— теоретическая функция.

Предельные значения соответствующие различным значениям у, приведены в приложении III.

Пример 6. Проверить согласие эмпирического и теоретического распределений по данным примера 3.

Решение. Вычисление эмпирических и теоретическихзначений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений и Результаты вычислений сведены в табл. 6.

Таблица 6

Результаты измерений и вычислений

Номер интервала
1	0,003	0,002	0,003	0,002
2	0,008	0,008	0,011	0,010
3	0,017	0,023	0,028	0,033
4	0,075	0,051	0,103	0,084
5	0,097	0,095	0,200	0,179
6	0,133	0,144	0,333	0,323
7	0,189	0,177	0,522	0,500
8	0,189	0,177	0,711	0,677
9	0,092	0,144	0,803	0,821
10	0,100	0,095	0,903	0,916
11	0,075	0,051	0,978	0,967
12	0,014	0,023	0,992	0,990
13	0,008	0,008	1,000	0,998

Согласно приложению III:

Согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.

Задание 6. Проверить согласие эмпирического и теоретического распределений по данным задания 4.

6. Определение доверительных интервалов

Теоретические значения параметров распределения обычно бывают неизвестны. Вместо них используют их эмпирические оценки. Например, для двухпараметрического закона нормального распределения вместо теоретических значений иприменяются эмпирические оценки и

В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра. Так, измерив размеры деталей из небольшой выборочной партии и определив эмпирические значения среднего размера и среднего квадратического отклонения, следует установить доверительные границы, внутри которых будет находиться математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение размеров генеральной совокупности деталей. Для точного определения доверительного интервала обязательно знание вида закона распределения.

Для нормального закона распределения методика определения доверительных границ регламентирована ГОСТ 11.004–74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения». Стандарт содержит таблицы для определения верхней и нижней доверительных границ при задании соответствующих значений односторонних доверительных вероятностей, в общем случае отличных друг от друга. На практике часто задают двустороннюю доверительную вероятность при равенстве односторонних вероятностей. В этом случае на основании таблиц стандарта можно составить более простые таблицы.

Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:

(8)

Значения табулированы в зависимости от двусторонней доверительной вероятности и числа измерений (см. приложениеIV).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:

(9)

Значения табулированы (см. приложениеV) и определяется в зависимости от числа измерений и односторонних вероятностей

(10)

Значение определяем при вероятности ,— при

Пример 7. При обработке результатов измерений длины 20 деталей получены следующие эмпирические оценки:

Определить доверительные интервалы для и с двусторонней доверительной вероятностью 0,9.

Решение. Согласно приложению IV Тогда

Согласно приложению V

Задание 7. Вычислить доверительные интервалы для и по результатам лабораторной работы №2