1. Числовые характеристики и законы распределения

Результаты измерений, как и другие случайные величины, характеризуются определенным законом распределения (функцией плотности вероятности). Плотность вероятности является пределом отношения вероятности попадания случайной величины в некоторый интервал к величине этого интервала при его неограниченном уменьшении. Функция плотности вероятности является производной от интегральной функции распределенияописывающей вероятность того, что случайная величина будет меньше некоторого определённого значения.

Важнейшими числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание (центр распределения) и дисперсияопределяемые из выражения:

Error: Reference source not foundРис. 1. Основные законы распределения: — среднее значение;— степень разброса случайной величины. Величинаназывается средним квадратическим отклонением

В области взаимозаменяемости и технических измерений наиболее часто встречаются следующие законы распределения:

а) нормальный (закон Гаусса); ему подчиняются случайные величины, на которые оказывает влияние большое число факторов, каждый из которых не является доминирующим и играет относительно малую роль в общей совокупности (рис. 1, а)

(1)

где — основание натурального логарифма;

б) закон равной вероятности (равномерной плотности); ему подчиняются случайные величины, на которые оказывает влияние резко доминирующий фактор, равномерно изменяющийся в пространстве или во времени; возможные значения случайных величин равновероятны и лежат в пределах некоторого интервала от до(рис. 1,б):

. (2)

Для него

в) закон равнобедренного треугольника (Симпсона); ему подчиняются случайные величины, на которые оказывает суммарное влияние два резко доминирующих фактора (рис. 1, в)

(3)

для него

г) закон Релея; ему подчиняются случайные величины, независимо распределяющиеся по ортогональным осям ипо нормальному закону с параметрамии(рис. 1,г)

(4)

где

Этот закон можно ожидать для случаев: радиального биения двух номинально-соосных цилиндрических поверхностей, конусности образующих поверхностей, неперпендикулярности двух плоскостей или оси к плоскости, непараллельности двух плоскостей.

2. Определение эмпирических характеристик ряда прямых измерений

Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки — соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсиюхарактеризующие средний результат измерений и степень разброса результатов. Если числорезультатов

M

измеренийнебольшое (меньше 25), и определяют из выражений:

или

При большем числе результатов измерений, выраженных однозначными или двузначными числами, их разбивают на равные интервалы и производят подсчет частот соответствующих каждому интервалу .

Тогда

где — значение, соответствующее середине -го интервала, а— число интервалов, выбираемое в пределах от 10 до 15, в зависимости от зоны рассеивания результатов измерений и принятой величины интервала. Зона рассеивания равна разности между наибольшим и наименьшим результатами измерений. Величину интервала при измерении размеров удобно выбирать из рядамм, где — целое положительное, отрицательное число или нуль.

Пример 1. При измерении величин радиальных биений наружной поверхности втулок получено 200 результатов: от 0,01 до 0,25 мм. Величину зоны рассеивания — 0,24 мм предпочтительнее всего разбить на 12 интервалов по 0,02 мм. Последовательность обработки показана в табл. 1.

Решение. Вычисляем:

Таблица 1