4. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

Вид функции теоретического распределения выбирают, исходя из предпосылок о физической природе появления разброса результатов измерений и анализа этих результатов. При этом следует учитывать как общие соображения о законе распределения, так и вид графических изображений эмпирического распределения — гистограммы или полигона.

Для наглядного представления вариационного ряда используют графические изображения в виде полигона, гистограммы, кумуляты. Полигон распределения представляет графическое изображение вариационного ряда в прямоугольной системе координат, в которой величина признака откладывается по оси абсцисс, а соответствующие им частотыили частости(относительные частоты) — по оси ординат. Полученные точки соединяются отрезками прямой. Полигон, как правило, применяют для изображения дискретного вариационного ряда. Общий вид полигона показан на рис. 2.

Сумма ординат полигона или сумма частостей

Гистограмма распределения — графическое изображение интервального вариационного ряда в виде прямоугольников разной высоты, основания которых — отрезки оси абсцисс, соответствующие ширине интервалов изменения признака. Высоты прямоугольников пропорциональны (при равенстве ширины интервалов) частотам или частостям (рис. 3).

Кумулятивная кривая (кривая сумм — кумулята) представляет собой графическое изображение вариационного ряда, образованное по последовательно суммируемым, т.е. накопленным частотам или частостям.

При построении кумуляты некоторого дискретного признака по оси абсцисс откладываются значения признака, а ординатами служат нарастающие суммы частот или частостей. Кумулята эмпирического распределения (рис. 4) представляет собой ломанную или ступенчатую линию.

Кумулята, соответствующая теоретическому распределению, имеет вид плавной кривой (рис. 5).

Рис. 2. Полигон эмпирического распределения

Рис. 3. Гистограмма эмпирического распределения

Рис. 4. График кумуляты эмпирического распределения: а — интервального распределения; б — дискретного распределения

При решении различных задач, связанных с обработкой, представлением и анализом статистической информации, в том числе при оценке показателей надежности, широкое применение получила так называемая вероятностная сетка (или «вероятностная бумага»), которую называют также вариационной сеткой.

Вероятностная сетка для какого-либо конкретного закона распределения представляет собой прямоугольную сетку с одной или двумя функциональными шкалами, что обеспечивает изображение графика этого закона распределения в виде прямой линии.

Вероятностная сетка используется для:

графической проверки согласия эмпирического распределения с теоретическим. Если опытные точки располагаются на поле вероятностей сетки близко к прямой («спрямляются»), то это свидетельствует о согласии опытных данных с тем теоретическим законом распределения, для которого построена данная вероятностная сетка;
оценки параметров эмпирического распределения;
статистического приемочного контроля качества продукции по количественному признаку.

Проверку согласия опытного (эмпирического) закона распределения с теоретическим нормальным законом осуществляют с помощью вероятностной сетки нормального распределения.

Рис. 5. График кумуляты нормального закона распределения (закона Гаусса)

Зная форму кривой плотности теоретического распределения и сравнивая ее с гистограммой или полигоном, выносят предварительное суждение о возможности использования конкретного вида функции теоретического распределения.

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений, по оси ординат — частости появления результатов измерения в каждом-м интервале. На рис. 6 и 7 кривые 1 соответствуют гистограммам для данных согласно примерам 2–1 и 2–2, а кривые 2 — полигонам распределения для этих же примеров.

Рис. 6. Гистограмма к примеру 1

Рис. 7. Гистограмма к примеру 2

Для построения графического изображения теоретического распределения необходимо:

сделать предварительное суждение о виде функции плотности теоретического распределения;
определить конкретную функцию плотности вероятности, используя полученные ранее эмпирические характеристики;
определить теоретические значения вероятностей P_i попадания результатов измерения в тот или иной интервал (произвести выравнивание эмпирического распределения по гипотетическому).

Пример 4. Построить графическое изображение теоретического распределения по данным примера 2.

Решение. Учитывая отсутствие сведений о доминирующих факторах, а также вид гистограммы и полигона (рис. 7), предполагаем закон нормального распределения с функцией плотности согласно выражению (1).