2614

8.8. Криволинейное движение точки Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся

под действием сил F1, F2 , Fn . Выберем неподвижные коор-

динатные оси Oxyz (рис. 8.8). Проецируя обе части равенства ma Fk на эти оси и учитывая, что ax x и другие соот-

ношения, получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат

Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени, положения точки и ее скорости, то, как и в уравнении (8.9), правые части уравнений (8.16) могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее

скорости vx x , vy y, vz z. Уравнения (8.16) позволяют решать

любую из задач динамики. Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, учесть начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный

Рис. 8.8 момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при t= 0

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений (8.16) найдем координаты х, у, z движущейся точки, как функции времени t, т. е. найдем закон движения точки. Эти функ-

начальным условиям движения (8.17). Пример интегрирования уравнений (8.16) приводится в 8.9.

80

Примером криволинейного движения материальной точки является движение небольшого тела массы m, брошенного с начальной скоростью v0 под углом к горизонту.

Дифференциальные уравнения движения можно составлять в проекциях не только на оси декартовой (прямоугольной системы) координат, но и на оси криволинейных систем координат.

8.9. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести

Пусть сопротивление воздуха отсутствует. Если дальность полета и высота траектории тела малы в сравнении с радиусом Земли, то поле сил тяжести можно считать однородным, полагая g = const .

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через Оу и вектор v0 а ось Oz перпендикулярна первым двум осям (рис. 8.9).

Начальные условия имеют вид: при t= 0 81

Из начальных условий следует

Подставляя эти выражения в полученные выше решения, и заменяя vx , vy , vz , на x, y и z , получим уравнения

x v0 cos , y v0 sin gt , z 0.

Интегрируя эти уравнения, получим

Подстановка начальных данных дает C4 C5 C6 0, и

уравнения движения точки М принимают вид

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Oxy.

Имея уравнения движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений

(8.18) время t, получим уравнение траектории точки

Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжелая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе.

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность X , т. е. измеренное вдоль оси Ox расстояние ОС. Полагая в равенстве (8.19) у= 0, получаем уравнение для определения координаты точки пересечения траектории с осью Ох

gx

x(tg 2v02 cos2 ) 0. Тогда x1 0, x2 g 12v02 cos sin .

82

Первое решение соответствует точке О, второе точке С. Следовательно, X x2, и

можно попасть по двум траекториям: пологой (настильной) ( 45 ) и крутой (навесной) ( 45 ).

При заданной начальной скорости v0 , наибольшая гори-

зонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда sin2 1, т. е. при угле 45 .

3. Высота траектории. Высота траектории H следует из

Полученные результаты практически вполне применимы для ориентировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка сотен километров,

так как при этих дальностях (и при угле 45 ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивление воздуха атмо-

83

сферные потоки (ветры). При дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной, а гравитационное поле Земли однородным, поскольку силы тяготения, вызванные Землей, образуют поле центральных сил - сил, сходящихся в одной точке - центре Земли.

8.10.Задачи для самостоятельного решения

8.10.1.Клеть массой m поднимается с помощью каната, навернутого на барабан радиуса R , вращающийся вокруг не-

подвижной горизонтальной оси по закону 0,5 (e t

e t ) ch( t ). Определить силу натяжения каната как функцию высоты подъема h (рис. 8.10).

8.10.2. Материальная точка массой m= 0,5 кг совершает движение согласно уравнениям;

x 2t2 1; y t2 1; z t3 1;

причем координаты точки выражены в метрах, время - в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент t 1 с.

8.10.3. Материальная точка массой m = 2 кг описывает криволинейную траекторию по закону s 12sin(0,5t ) (s выражено в м, t- в сек). В данный момент она занимает положе-

8.10.6. На материальную точку, совершающую прямолинейное движение, действует сила R , равномерно убывающая с течением времени и по истечении T с. обращающаяся в нуль. Какой скорости достигнет точка при t T с. и какой путь она пройдет за это время, если в начальный момент (t= 0) скорость точки равна нулю, а ее ускорение равно a0 >0 (рис. 8.5)?

8.10.7. Материальная точка М массы m движется прямолинейно в положительном направлении оси Ох. Точка отталкивается от неподвижного центра О силой R , пропорциональной массе m и расстоянию от центра О, причем коэффициент пропорциональности равен k = 4. Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно x0 5 м, а

начальная скорость v0 2 м/с (рис.

8.5).

8.10.8. Материальная точка массы m= 0,1 кг движется прямоли- Рис. 8.11 нейно под действием постоянной силы F 0,3 Н. Движение происходит

в среде, сила сопротивления которой выражается линейной

функцией, скорости R 0,2v 0,1v2 , где v - скорость точки. Найти закон движения точки, если начальная скорость и начальная координата равны нулю (рис. 8.11).

8.10.9. Начальная скорость снаряда v0 = 490 м/с. Под ка-

ким углом к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами y = 700 м, z = 680 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

85

8.10.10. Частица М массы m, несущая положительный заряд электричества e, влетает в однородное электрическое

поле постоянной напряженности E , направленной горизонтально в положительном направлении оси x, с вертикальной скоростью v0 . Описать дальнейшее движение частицы, зная,

что в электрическом поле на нее действует сила F eE , направленная в сторону, противоположную напряженности поля.

При решении задачи учесть действие силы тяжести G mg . 8.10.11. Материальная точка М массой m отталкивается

от неподвижного центра О силой F cr , где r - расстояние точки М от центра О, а c - постоянный коэффициент. В начальный момент расстояние r0 OM0 a, а скорость точки

v0 - перпендикулярна к направлению OM0. Найти закон дви-

жения точки М и уравнение ее траектории. Ось x системы координат провести через точкуM0 горизонтально, а ось y пер-

пендикулярно оси x вверх.

8.10.12. Точка М массой m= 0,1 кг движется под действием силы, которая притягивает ее к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности c = 0,6 H/см Движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности =0,5 Н*с/м. Начальные условия: x0 = 0, y0 = 30 м,

v0x 20 м/с, v0y 10 м/с. Найти уравнения движения точки при отсутствии силы тяжести.

86

Глава 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Для решения многих задач динамики, особенно динамики системы, вместо интегрирования дифференциальных уравнений движения удобнее использовать так называемые общие теоремы, являющимися следствиями основного закона динамики.

Общие теоремы устанавливают более простые и наглядные зависимости между основными динамическими и кинематическими характеристиками движения тел и дают принципиально новые возможности исследования движений механических систем. Эти теоремы широко применяются в инженерной практике. Кроме того, общие теоремы позволяют изучать отдельные, важные стороны данного явления, не изучая явление в целом. При использовании общих теорем можно избежать некоторых операций интегрирования, которые производятся при выводе этих теорем. Этим самым упрощается процесс решения. В данной главе рассмотрены общие теоремы механики для материальной точки.

9.1. Импульс и кинетическая энергия точки Основными динамическими характеристиками движения

точки являются импульс и кинетическая энергия.

Импульсом точки называется векторная величина p mv , равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен вектор p так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к траектории точки.

Кинетической энергией точки называется скалярная величина T =0,5mv2 , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Следует помнить, что при определении T можно использовать только скорость материальной точки относительно данной системы, то есть относительную скорость. Поэтому кинетическая энергия точки относительно ИСО определяется с

87

точностью до некоторой неизвестной постоянной величины, зависящей от массы точки и скорости движения этой системы.

Единицами измерения этих величин в СИ являются 1 кг*м/с (для p) и 1 Дж (Джоуль) = 1 Н*м= 1 кг*м2/с2 (для T ).

Необходимость введения двух динамических характеристик вызвана тем, что ни одна из них не отражает все особенности и характеристики движения точки.

Например, зная импульс автомобиля (т. е. величину p mv , а не величины m и v в отдельности) и действующую на него силу при торможении, можно определить время движения автомобиля до остановки, но по этим данным нельзя найти пройденный за это время путь. Наоборот, зная начальную кинетическую энергию автомобиля и тормозящую силу, можно определить тормозной путь, но нельзя найти время торможения.

9.2. Импульс силы Импульс силы используется для определения действия си-

лы на тело за некоторый промежуток времени.

Пусть t - элементарный промежуток времени действия

F силы на точку. Элементарным импульсом силы называется вектор

Вектор элементарного импульса направлен так же, как и сила.

Импульс p силы F за конечный промежуток времени

0,t1 определяется интегрированием соответствующего элементарного импульса

88

В частном случае, если модуль и направление силы F по-

стоянны (F = const), то p Ft1. В этом случае модуль импуль-

са p = Ft1.

Учитывая, что интеграл - это предел суммы, а проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось, проекции импульса на оси координат

По этим проекциям можно определить вектор p и найти его модуль и углы, образованные им с осями координат.

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, импульсы которых можно определить заранее, не зная закона движения точки под действием этих сил. Из равенств (9.3) видно, что такими силами являются только постоянные силы и силы, зависящие от времени.

Для определения импульсов сил, зависящих от координат или от скорости движения точки, надо дополнительно знать закон ее движения, т. е. уравнения x f1 t , y f2 t , z f3 t . Тогда выразив х, у, z или vx ,vy ,vz через t, можно оп-

ределить интегралы (9.3). Не зная закона движения точки, т. е. не решив предварительно основной задачи динамики, импульсы таких сил определить не возможно.

9.3. Теорема об изменении импульса точки При постоянной массе точки с учетом того, что, ускорение

точки a v dv / dt, основной закон динамики (9.3) представим в виде

Уравнение (9.4) выражает одновременно теорему об изменении импульса точки в дифференциальной форме: производная по времени от импульса точки равна векторной сумме действующих на точку сил.

89