2614

поступательно, их орты i , j , k не изменяются. Если же система координат Oxyz (рис. 4.6) вращается, кроме того, вокруг какой - либо оси ОР, то орты осей системы станут переменными величинами, так как их направления будут зависеть от времени. В этом случае для определения производной от какого -

А, лежащей на оси Ох на расстоянии единицы длины от начала

рость поворота вокруг оси ОР. Аналогичные соотношения по-

Выражения (4.6) называют формулами Пуассона.

4.4. Общий случай движения свободного твердого тела Рассмотрим наиболее общий слу-

чай движения твердого тела, когда оно является свободным и может произвольно перемещаться относительно системы отсчета Ox1y1z1 (рис. 4.7). Для составления уравнения, определяющего закон рассматриваемого движения выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси

Рис. 4.7 Axyz , которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом

30

поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ox1y1z1 будет известно, если будет известно положение полю-

са А, т. е. его координаты x1A,y1A,z1A и положение тела отно-

можно представить в виде суммы элементарного поступательного перемещения вместе с полюсом А и элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через этот полюс. Поскольку движение тела - это совокупность элементарных перемещений, движение свободного твердого тела состоит в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно выбранный полюс А со скоростью vA , и из серии элементарных поворотов с угловой скоростью вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 4.8).

Поступательная часть движения свободного твердого тела описывается первыми тремя из уравнений (4.7), а вращение относительно полюса - последними тремя из этих уравнений. Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость vA и ускорение aA полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. По величинам этих скоростей и ускорений в любой

31

момент времени можно найти по уравнениям (4.7).

В частном случае движение свободного тела может быть плоскопараллельным (глава 3). При этом вектор будет все время перпендикулярен плоскости движения.

Следует помнить, что в общем случае, как и в случае плоскопараллельного движения, вращательная часть движения (в частности и векторы и ) от выбора полюса не зависит.

При определении скоростей и ускорений точек свободно движущегося тела можно использовать результаты 4.2.

Скорость vM любой точки М тела, как и в случае плоско-

параллельного движения, складывается из скорости vA полюса

А и скорости vMA , которую получает точка М, двигаясь вместе

32

Глава 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

5.1. Относительное, переносное и абсолютное движения До сих пор изучалось движение точки или тела относи-

тельно одной заданной системы отсчета. Однако при решении задач механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать движение точки (или тела)

одновременно относительно двух систем отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется составным или сложным.

Например, шар, катящийся по полу движущегося вагона, совершает относительно земли сложное движение, состоящее из качения относи-

тельно пола (подвижной системы отсчета) и движения вместе с полом относительно земли (неподвижной системы отсчета). Так сложное движение шара складывается из двух более простых и легко исследуемых движения. Возможность разложить более сложное движение точки или тела на более простые движения путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета широко используется в науке и определяет практическую ценность теории сложного движения. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия или движения тел под действием сил.

Следует помнить, что движение по своей сути не может быть простым или сложным, поскольку является объективным процессом. Понятие сложного или простого движения появляется при попытке анализировать или описывать движение. Сложность или простота движения относительны, поскольку зависят от уровня знаний исследователя движения и выбора системы координат для описания движения.

33

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся относительно подвижной системы отсчета К (Oxyz ), которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета K1 (O1x1y1z1 ) условно называемой неподвижной (рис. 5.1). Каждая, из этих систем отсчета связана с определенным телом отсчета, не показанным на чертеже.

При описании сложного движения используются следующие определения:

1. Движение, совершаемое точкой М относительно подвижной системы координат K , называется относительным движением. Такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с подвижной системой K (неподвижный относительно K ). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки М относительно системы K (т. е. вдоль этой кривой АВ) называется относительной скоростью и обознача-

ется vr , а ускорение точки в этом движении - относительным

ускорением и обозначается ar . При определении vr и ar систему K удобно считать неподвижной.

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета K и всеми связанными с ней точками относительно неподвижной системы K1 называется переносным движением.

Пусть m – точка, неподвижная относительно системы K , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка M. Скорость точки m называется переносной скоростью точки М

в этот момент времени и обозначается ve , а ускорение этой

точки - переносным ускорением точки М и обозначается ae . Таким образом,

Если представить, что относительное движение точки М происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связана подвижная система K , то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент будет скорость (или ускорение) той точки m тела, в которой в этот

34

момент находится точка М.

3. Движение, совершаемое точкой относительно неподвижной системы отсчета K1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и обозначается v , а ускорение - абсолютным ускорением и обозначается a.

В приведенном выше примере движение шара относительно пола вагона будет относительным, а скорость этого движения - относительной скоростью шара; движение вагона относительно земли будет для шара переносным движением, а скорость той точки пола, которой в данный момент касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью. Наконец, движение шара относительно земли будет абсолютным движением шара, а скорость этого движения - абсолютной скоростью шара.

5.2. Сложение скоростей Абсолютная скорость равна векторной сумме относи-

тельной и переносной скоростей точки

Для определения стоящих справа производных, которые,

в общем случае не равны ae и ar соответственно необходимы

35

выражения векторов vr , ve .

Пусть положение движущейся точки М в подвижной системе K определяется ее координатами х, у, z.

5.3.1. Сложение ускорений при поступательном переносном движении

Если подвижная система отсчета K перемещается относительно неподвижной системы K1 поступательно, то очевидно, что при любом положении точки М будет

Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного и переносного ускорений. Получен результат, аналогичен тому, который дает теорема о сложении скоростей.

5.3.2. Сложение ускорений при непоступательном переносном движении. Теорема Кориолиса

Пусть переносное движение (т. е. движение подвижной системы отсчета Oxyz ) является вращательным с угловой скоростью .

Величина ak , ха-

рактеризующая изменение вектора относительной скорости vr

при переносном движении и вектора переносной скорости ve при относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением точки:

Эта формула выражает следующую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме трех ус-

36

корений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении, и кориолисова ускорения.

Если переносное движение является поступательным, то

= 0 и ak = 0, и (5.7) переходит в (5.5).

5.3.3.Определение относительного, переносного

и кориолисова ускорений Эти ускорения определяются по известным формулам

кинематики.

Так как при определении ar движение подвижных осей

не учитывается, то ar определяется обычными методами кинематики точки.

При определении же ae не надо учитывать относитель-

ное движение точки. Следовательно, ae нужно определять методами кинематики твердого тела, как ускорение точки неизменно связанного с системой K и движущегося вместе с этой системой.

Если угол между векторами vr и обозначить через ,

то модуль вектора ak

Направлен вектор ak так же, как вектор vr , то есть перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и

vr в ту сторону, откуда поворот к vr на минимальный угол виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 5.2, а).

Из рис. 5.2, а видно также, что направление вектора ak

можно получить, спроецировав вектор vr на плоскость Q,

перпендикулярную , и повернув эту проекцию vQr на 90° в

сторону переносного вращения. В этом заключается правило Н.Е. Жуковского.

37

Если относительная траектория – плоская кривая и перемещается все время в своей плоскости, то угол = 90° (рис. 5.2, б), и в этом случае

нуль в следующих случаях:

1)Когда = 0, т. е. когда переносное движение является поступательным, или если угловая скорость переносного вращения в данный момент времени обращается в нуль.

2)Когда vr = 0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль.

3)Когда = 0, или =180°, т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или если в данный момент времени

вектор vr параллелен этой оси.

38

Глава 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1. Сложение поступательных движений Если тело движется относительно подвижной системы с

осями Oxyz (см. рис. 5.1), а эта система совершает одновременно переносное движение относительно неподвижной системы с осями Ox1 y1z1 , то результирующее (абсолютное) движение тела называется сложным.

Задачей кинематики в этом случае является определение зависимостей между характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений. Основными кинематическими характеристиками движения тела, являются линейные и угловые скорости и ускорения его точек. В данном параграфе рассматриваются зависимости только между поступательными и угловыми скоростями движений.

Пусть относительное движение тела является поступательным со скоростью v1 , а переносное движение - тоже по-

ступательное со скоростью v2 . Тогда все точки тела в относи-

тельном движении будут иметь скорость v1 , а в переносном -

скорость v2 . Следовательно, по теореме сложения скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут иметь одну и ту же скорость v v1 v2 , т. е. абсолютное движение тела будет поступательным.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростям v1 , и v2 результирующее движение тела также яв-

ляется поступательным со скоростью v v1 v2 .

6.2. Сложение поступательного и вращательного движений Если сложное движение твердого тела состоит из поступательного и вращательного движений, то для определения скоростей и ускорений его точек в суммарном движении используют теоремы о сложении скоростей в сложном движе-

нии.

39