2614

Величина q dM / dt, определяет массу топлива, расходуемого за единицу времени, и называется массовым секундным расходом топлива. Тогда

Поэтому реактивная сила равна произведению массового секундного расхода топлива на относительную скорость истечения продуктов его сгорания и направлена противоположно этой скорости.

Очевидно, что полученные результаты были бы строго верны, если бы отделяющиеся частицы не оказывали бы никакого взаимного действия друг на друга, например, были бы последовательно отбрасываемыми частицами. Фактически продукты горения топлива выбрасываются из ракеты в виде непрерывной газовой струи, частицы которой взаимодействуют друг с другом. Пусть S - площадь выходного сечения сопла двигателя, pc - давление газа в этом сечении, pa - атмо-

сферное давление. При полете в атмосфере на ракету будут дополнительно действовать направленная в сторону движения сила pcS , и направленная против движения сила paS . Так как

pc pa , то реактивная сила будет больше определяемой фор-

мулой (17.10) на величину ( pc pa )S .

Определим закон движение ракеты под действием только

одной реактивной силы, считая Fe = 0, а относительную скорость истечения u постоянной. Направим координатную ось x в сторону движения (см. рис. 14.5). Тогда vx v , ux u и

уравнение (17.8) в проекциях на ось х, примет вид

Mv uM или dv udM / M .

Интегрируя это уравнение и считая, что в начальный момент масса M M0 , а скорость v v0 и направлена вдоль оси x , получим

v v0 uln(M / M0 ). (14.11)

200

Пусть Mк - масса конструкции ракеты, а MT - масса топ-

лива. Тогда, очевидно, M0 Mк MT . Если все топливо из-

расходовано, то M Mк . Тогда из (14.11) получим формулу Циолковского, определяющую скорость ракеты, после израсходования всего ее топлива

v1 v0 uln(1 MT / Mк ). (14.12)

Эта формула верна в безвоздушном пространстве и вне поля сил тяжести. Из формулы (14.12) видно, что предельная скорость ракеты зависит: 1) от ее начальной скорости; 2) от относительной скорости истечения продуктов горения; 3) от относительного запаса топлива MT / Mк - числа Циолковского. Как видно из (14.12), скорость ракеты в конце периода горения не зависит oт режима работы ракетного двигателя, т. е. от того, с какой скоростью сжигается топливо.

Важное практическое значение формулы Циолковского состоит в том, что она указывает возможные пути получения больших скоростей космических полетов. Этими путями являются увеличение MT / Mк , u и v0 .

14.6. Задача двух тел Примеры взаимодействия друг с

другом двух движущихся материальных точек встречаются часто. Если считать Луну и Землю материальными точками и абстрагироваться от взаимодействия их с другими планетами Солнечной системы, Солнцем и звездами, то приходим к задаче двух

Рис. 14.6 тел. Второй пример - взаимодействие ядра атома водорода и электрона.

Кроме того можно привести много примеров взаимодействия частиц при рассеянии частиц и в других явлениях. Точное решение задачи двух тел можно получить и с использованием

201

основного уравнения динамики, и с применением уравнения Лагранжа 2 рода, и с применением уравнения Гамильтона или принципа Гамильтона. Далее рассмотрено простейшее из указанных решений на основании основного уравнения динамики.

Задача о взаимодействии друг с другом трех и более тел, не может быть точно решена кроме специальных случаев.

Далее вместо фразы материальная точка для краткости используется просто точка.

Пусть mi (i 1,2) - массы точек, ri - их векторы - радиу-

сы относительно точки O . Пусть точки взаимодействуют друг с другом с силами притяжения, которые могут иметь гравита-

ционную, электрическую или магнитную природу. Пусть F12 -

сила, с которой точка 1 действует на точку 2 и F21- сила, с ко-

ляет положение точки 2 относительно точки 1. Опыт показывает, что силы взаимодействия между точками могут зависеть только от r . Предположение о том, что эта сила зависит от r1

и r2 равносильно предположению о влиянии положения точки O , которое субъективно, на физический процесс взаимодействия точек, который объективен. Такое предположение нарушает принцип трансляционной симметрии явлений. Трансляционная симметрия - тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на некоторый вектор, который называется вектором трансляции. Принцип трансляционной симметрии фундаментальный принцип познания, который подтверждается экспериментально.

В соответствии с третьим законом Ньютона F12 =- F21,

то есть силы F12 и F21 имеют одинаковые модули, противоположные направления и лежат на одной прямой, проходящей через взаимодействующие точки. При гравитационном притя-

жении точек модуль силы F Gm1m2 / r2 , где G - гравитаци-

202

онная постоянная. Векторы сил определяются выражениями

F21 Fr / r , F12 Fr / r .

Пусть в начале движения, которому соответствует время t 0 , заданы начальные условия - то есть начальные положе-

определении по заданным начальным условиям законов дви-

жения точек, то есть векторов ускорений ri(t), скоростей ri(t)

точек, а также функций ri(t ), которые являются законами из-

менения векторов ri .

Как известно, траекторией точки называется кривая, описываемая концом вектора, определяющего ее положение в пространстве, при ее движении. Функция ri определяют поло-

жение точки с номером i относительно точки O , то есть определяет траекторию этой точки. При движении точки О функция ri определяет относительную траекторию точки i.

14.6.1. Решение задачи двух тел на основании второго закона Ньютона

Рассмотрим простое решение этой задачи с использованием второго закона Ньютона [7]. Применяя к движению каждой точки второй закон Ньютона, получаем уравнения движения точек

Сложение этих уравнений с учетом того, что F12 =- F21 и модули сил одинаковы, дает выражение

203

R Rdt R0 const,

где R0 - вектор скорости центра масс в начале движения.

Следовательно, центр масс двух взаимодействующих точек движется с постоянной скоростью, то есть равномерно и прямолинейно.

Импульс системы также сохраняется, поскольку

Скорость движения центра масс можно найти по начальным условиям

где V и C - пока неизвестные постоянные векторы - постоянные интегрирования.

204

деления конкретного движения центра масс нужно определить

6 скалярных постоянных величин, составляющих V и C вдоль осей координат. Однако соотношения (14.16) - (14.19) не позволяют определить положение конкретной точки во время движения.

Деля (14.13) на m1, а (14.14) на m2 , и вычитая второе уравнение из первого, получим

суммарная масса системы.

205

То есть ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой момент времени направлено вдоль вектора r .

Интегрируя 2 раза это уравнение, получаем общие решения этого уравнения

Для определения конкретного движения точки 2 относительно 1 нужно найти два вектора 0 и 1 или 6 скалярных постоянных величин, определяющих проекции 0 и 1 на ко-

ординатные оси.

С учетом начальных условий из (14.23) и (14.24) получается уравнения для определения 0 и 1

r(t 0 ) r20 r10 0 , r(t 0) r20 r10 r0 1.

Векторное произведение (r r ) (r r ) (t ) 0 , то есть ускорение точки 2 относительно точки 1 в любой момент времени направлено вдоль вектора r .

Векторное произведение

По определению последний интеграл есть сумма беско-

нечно малых величин rdt, каждая из которых есть вектор, направленный вдоль r . Поскольку (r rdt ) (r r ) (t )dt 0

этот интеграл равен нулю. Следовательно

Пусть h (r r0 ). Вектор h перпендикулярен плоскости,

образуемой векторами r r0 . Следовательно, друг относитель-

но друга движение точек происходит в плоскости, проходящей перпендикулярно вектору h . Поскольку система двух точек

206

замкнутая, в ней выполняются законы сохранения полной механической энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, момент импульса точек системы должен быть постоянен и равен моменту импульса в начальный момент времени.

ределяется начальным относительным положением точки 2 – вектором r0 и ее начальной относительной скоростью – вектором r0.

Соотношения (14.22) - (14.24) описывают поведение вектора r , то есть описывают движение точки 2 относительно точки 1. Движение точки 1 при этом остается не определенным.

Для определения движений точек относительно точки O можно использовать соотношение

207

окружностей расположены в центре масс системы S . Точки 1 и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр масс, а их скорости направлены противоположно друг другу. При m1 m2 траекториями точек в относительном движении являются эллипсы (рис. 14.8), фокусы которых лежат на одной линии. Точки 1 и 2 всегда расположены на прямой, проходящей через центр масс, а их скорости направлены противоположно друг другу. В обоих случаях центр масс S движется от-

14.7.Задачи для самостоятельного решения

14.7.1.Мотор, массой M, прикреплен к фундаменту болтами (рис. 13.3). Масса ротора мотора равна m , а его центр масс В смещен относительно оси вращения на расстояние AB

=e . Ротор вращается по закону 0,5 t2 Определить верти-

кальное давление мотора на фундамент и горизонтальную силу, приходящуюся на все болты, в момент времени t 1 с.

14.7.2. Доска массой M может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом к горизонту. В каком направлении, и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой m , чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?

208

14.7.3. Снаряд массой m= 50 кг, летит со скоростью v =

800 м/с под углом 30 к вертикали и попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найти скорость платформы после

скорость первого осколка.

14.7.5. Человек прыгает с берега в лодку, которая плывёт со скоростью v1 . Определить скорость лодки вместе с челове-

ком, если при прыжке скорость человека была равна v2 и на-

правлена горизонтально перпендикулярно скорости v1 . Масса лодки m1 , человека m2 . Погружением лодки после прыжка и трением о воду пренебречь.

14.7.6. По рельсам со скоростью v катится тележка массы М. Человек массы m прыгает на тележку перпендикулярно

действовать одинаковая сила. Определить величину и направление скорости второй частицы в момент вре-

мени, когда скорость первой частицы стала равной -v1. 14.7.8. Железнодорожная платформа с установленным на

ней орудием движется со скоростью v1= 9 км/ч. Общая масса

M= 20 т. Из орудия выпущен снаряд массой m = 25 кг со скоростью v2 = 700 м/с относительно платформы. Определить

скорость платформы после выстрела: а) когда выстрел произведен в направлении движения платформы; б) когда выстрел

209