2614

12.3.1. Тонкий однородный стержень

Пусть продольная ось x стержня длиной l и массой М перпендикулярна оси Az. Тогда для любого элементарного отрезка

Рис. 12.3 длины dx величина h= x, а масса dm 1dx, где 1 M / l - масса

единицы длины стержня. Из (12.5), получаем

12.3.2. Тонкое круглое однородное кольцо

Пусть кольцо имеет радиус R и массу М (рис. 12.4,а), а ось

Рис. 12.4

Cz перпендикулярна плоскости кольца и проходящей через его центр. Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии hk R, то формула (15.2) дает

JC mk R2 mk R2 MR2 .

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительно ее оси.

170

12.3.3. Круглая однородная пластина или цилиндр Для вычисления момент инерции круглой пластины ради-

ус R и массы М (рис. 12.4,б) относительно оси Cz, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr. Площадь этого

са единицы площади пластины.

Тогда из (12.7) для выделенного элементарного кольца dJC r2dm 2 2r3dr,

а для всей пластины

(12.8)

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции Jz однородного круглого цилиндра массы М и радиуса R (рис. 12.2,в) относительно его оси симметрии Cz.

12.3.4. Прямоугольная пластина, конус, шар Ниже приведены окончательные формулы для моментов

инерции следующих тел:

а) сплошная прямоугольная пластина массы М со сторонами АВ= а и BD=b (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у - вдоль BD):

Jx Mb2 / 3, Jy Ma2 / 3

б) прямой сплошной круглый конус массы М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса):

Jz 0,3MR2 ;

в) сплошной шар массы М и радиуса R (ось z направлена вдоль диаметра):

Jz 0,4MR2 .

171

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной формы определяются экспериментально с помощью соответствующих приборов или установок.

12.4. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса

Для практики важны соотношения, позволяющие по моменту инерции относительно некоторой оси, определять момент инерции относительно любой другой оси, параллельной этой оси.

Проведем через центр масс С тела (рис. 12.5) произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' - оси Oxyz, такие, что OyCy , OzCz . Пусть d рас-

Рис. 12.5 стояние между осями Cz' и Oz. Тогда согласно (12.3)

Вправой части равенства первая сумма есть JCz , а вторая

-масса тела М. Из (12.1) для координаты центра масс x'C сле-

дует mk x'k Mx'C . Поскольку точка С является началом ко-

ординат x'C 0 и, mk x'k 0. Тогда

Формула (12.9) выражает теорему Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен сумме его

172

момента инерции относительно центральной оси, ей параллельной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (12.9) следует, что JOZ JOZ . Поэтому, для

множества параллельных осей наименьший момент инерции тело имеет относительно его центральной оси.

Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела относительно данной оси Оz1 и в том случае, когда известен его момент инерции относительно любой оси Аz2 параллельной данной. Для этого надо знать расстояния d1 и d2 от каждой из этих осей до центра масс тела. Тогда, зная JAZ2 и d2, по

формуле (12.9) можно определить JCZ1 , а затем по той же формуле определяется искомый момент инерции JOZ1 .

Задача 12.1. Найти момент инерции тонкого стержня относительно центральной оси Cz, перпендикулярной стержню .

Решение. Проведем через конец А стержня ось Аz (ось Сz на нем не показана). Тогда по формуле (12.9)

Jc JA Md2 .

В данном случае d 0,5l , где l - длина стержня, а JA определяется формулой (12.6). Следовательно,

Jc 1 Ml2 1 Ml2 3 Ml2 . 3 4 2

Задача 12.2. Определить момент инерции цилиндра относительно оси Az1, проходящей через его образующую.

Решение. По теореме Гюйгенса JAz1 JCz Md2 . В дан-

ном случае d= R, а по формуле (15.8) JCz 0,5MR2 . Тогда

JAz1 0,5MR2 MR2 1,5MR2 .

173

12.5. Центробежные моменты инерции. Главные оси инерции тела

Осевые моменты инерции системы также не вполне характеризует распределение масс системы. Например, если стержень, на котором находятся шары А и В, повернуть в плоскости Oyz так, чтобы угол между ним и осью Oz стал не прямым, а расстояния h шаров А и В от оси сохранить, сместив их к концам стержня, то ни положение центра масс, ни момент инерции шаров относительно оси Oz не изменятся, но симметрия относительно оси Oz нарушится. Это приведет к другому распределению масс относительно оси Oz и при вращении системы вокруг оси Oz появятся дополнительные горизонтальные сил давления на подшипники.

Поэтому в механике в качестве характеристик, учитывающих подобную асимметрию распределения масс, используют еще и центробежные моменты инерции: Jxy, Jyz, Jzx .

Jxy mk xk yk , Jyz mk xk yk , Jzx mk xk yk , (12.10)

где mk - массы точек, xk , yk , zk - их координаты.

Очевидно, что Jxy Jyx и т. д.

Для сплошных тел формулы (15.10) по аналогии с (15.5')

В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz принимать нулевые значения.

Пусть координатные оси Oxyz таковы, что осью симметрии однородного тела является ось Oz. Тогда в силу симметрии каждой точке тела с координатами ( xk , yk , zk ) и массой

mk будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными xk , yk , zk . В ре-

зультате получим, что, mk xk zk 0 и mk yk zk 0, так как

174

в этих суммах модули всех слагаемых попарно одинаковы, но противоположны знаки. Согласно (12.10)

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси Oz приводит к обращению в нуль двух центробежных моментов инерции Jxz и Jyz .

Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции Jxz

и Jyz , содержащие в своих индексах наименование этой оси,

равны нулю, называется главной осью инерции тела.

Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой точки оси.

Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии.

Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости оси Ох и Оу и перпендикулярную к ним ось Oz. Тогда в силу симметрии каждой точке

Следовательно, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела.

Равенства (12.11) выражают условия, при которых ось Oz является главной осью инерции тела. Аналогично, если Jxy 0 и Jzx 0 то ось Ох будет главной осью инерции и т. д. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

то каждая из координатных осей Oxyz является главной осью инерции тела.

175

Если ось Oz направить по оси симметрии тела вращения, то все три оси любой системы Oxyz будут главными осями инерции, поскольку оси Ох и Оу будут перпендикулярными к плоскостям симметрии тела.

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

Можно доказать, что в любой точке любого тела можно провести по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежные моменты инерции будут равны нулю, т. е. которые будут главными осями инерции тела.

Главные оси инерции играют важ-

ную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные

оси Oxyz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются. С главными осями связано также динамическое уравновешивание тел, определение центра удара и др.

Покажем, что главные оси инерции существуют в любой точке тела. Для этого докажем сначала следующую теорему: ось Oz, момент инерции относительно которой имеет экстремальное значение по сравнению с моментами инерции относительно соседних с ней осей, проходящих через точку О, является главной осью инерции тела для этой точки. Следовательно, надо доказать, что если при любом элементарном повороте

176

оси Oz вокруг точки О будет dJz = 0 (условие экстремума), то эта ось является для точки О главной осью инерции.

Проведем через точку О координатные оси Oxyz и повернем их (не меняя положения тела) вокруг оси Ох на угол d 1 (рис. 12.6). Как известно из аналитической геометрии, при таком повороте осей координата yk любой точки bk тела преоб-

разуется по формуле

y'k yk cos 1 zk sin 1.

ние оси Оz складывается из таких двух поворотов, условия экстремума Jz примут вид

dJz 1 0, dJz 2 0 .

Следовательно, если это условие выполняется, то поскольку d 1 0, d 2 0, должно быть Jxz 0, Jyz 0, т. е. ось Oz будет для точки О главной осью инерции. Тем самым теорема доказана.

Если изменять направление оси Оz, проходящей через точку О тела, то одновременно будет изменяться и осевой момент инерции Jz. При таком изменении Jz, не может ни возрас-

177

тать, ни убывать неограниченно, поскольку для любого телаJz 0. Отсюда на основании соответствующих теорем анализа следует, что среди всех направлений оси Oz существует по крайней мере одно, для которого Jz имеет максимум (по сравнению с его значениями для соседних осей), и одно, для которого Jz имеет минимум. Тогда из доказанной теоремы вытекает, что через любую точку тела проходят по крайней мере две главные оси инерции. Можно показать, что они взаимно перпендикулярны. Из (12.11) следует, что если две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку О (например, Ох и Оу) являются главными, то Jxz 0 , Jyz 0 и третья, перпендикулярная к ним ось Оz будет также главной осью инерции. Следовательно, через любую точку тела действительно проходят по крайней мере три взаимно перпендикулярные главные для этой точки оси инерции тела.

178