2614

Моментом силы P относительно точки О называют алгебраическая величина произведения модуля силы на ее плечо относительно точки О

(7.1)

Из (7.1) следует, что момент силы относительно точки не меняется при переносе силы по ее линии действия. При определении знака момента следует мысленно считать плечо OK = h стержнем, который закреплен шарнирно в точке О и имеет свободный конец в точке К. Тогда при вращении плеча под действием силы P вокруг точки О против часовой стрелки момент будет положительным, а при вращении по часовой стрелке - отрицательным. Если P = 0 или h = 0, то M0(P) 0 . Итак,

момент силы относительно точки О равен нулю, когда сила равна нулю или когда линия ее действия проходит через данную точку. Из рис. 7,1 видно, что

|M0 (P )| =2 пл. OAB, (7.2)

т. е. величина (модуль) момента силы относительно данной точки численно равна удвоенной площади треугольника, основанием которого является сила, а вершиной - данная точка.

Для плоской системы сил момент силы относительно точки определяется его проекцией на ось перпендикулярную этой плоскости, направленную к наблюдателю. Эту проекцию также называют моментом силы. Для плоской системы сил момент силы относительно точки равен взятому со знаком плюс или минус произведению силы на ее плечо. Момент считается положительным, если он способен вызвать вращение против хода часовой стрелки. Момент противоположного направления считается отрицательным.

7.4. Вектор момента силы относительно точки При решении многих задач статики и динамики удобно

считать момент силы относительно точки вектором. 50

Вектором - радиусом точки А приложения силы P относительно точки О называют вектор r , проведенный из точки О в точку А (рис. 7.2).

Моментом силы P относительно точки О (центр момента) называют вектор, рав- Рис. 7.2 ный векторному произведению вектора -

радиуса точки приложения силы на вектор силы

Очевидно что, модуль вектора момента силы относительно данной точки численно равен удвоенной площади треугольника, основанием которого является сила, а вершиной данная точка (рис. 7.2)

Если вектор силы P переносить по ее линии действия, то площадь OAB не будет меняться, и, следовательно, если силу переносить по ее линии действия, то вектор момент силы относительно данной точки будет неизменным.

Проекции вектора - момента силы относительно точки О на оси координат, проходящие через точку О, определяются соотношениями

7.5. Момент пары сил Парой сил (или просто парой) в меха-

нике называется особая система сил, состоящая из двух равных по модулю, противоположно направленных параллельных сил (рис. 7.3): P P. Расстояние h

Рис. 7.3

между линиями действия сил пары называют плечом пары.

51

Модулем момента пары сил называют алгебраическую величину, равную произведению модуля одной из сил пары на ее плечо

Если плечо h заменить твердым стержнем, то при его вращении под действием сил пары против хода часовой стрелки в формуле (7.5) надо ставить знак плюс, а при вращении по ходу часовой стрелки - знак минус. Согласно рис. 7.3 имеем

т. е. модуль момента пары численно равно удвоенной площади треугольника, основанием которого является одна из сил пары, а вершина находится в любой точке на линии действия второй силы пары.

По определению момент пары сил относительно любой точки является постоянной величиной.

Свободным вектором называют вектор, который можно, не меняя его величины и направления, переносить параллельно самому себе.

В дисциплине сопротивление материалов вектор силы или момента можно считать свободным только при описании равновесия тела (гипотеза отвердевания). При определении внутренних сил в теле силы и моменты уже нельзя считать свободными векторами, поскольку от положения силы или момента относительно тела зависят напряжения и деформации тела. m( P,P ) называют свободный вектор,

равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на ее плечо (рис. 7.4) и направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, чтобы, смотря из его конца к началу, видеть вращение пары против хода часовой стрелки

52

7.6. Момент силы относительно оси Вращательное действие силы относи-

тельно оси определяется не всей силой, а только ее составляющей (компонентой) Pt (рис. 7.5), лежащей в плоскости, пер-

пендикулярной этой оси. Другая составляющая Pl , параллельная оси l, не вызы-

вает вращения, а стремится сдвинуть тело

Рис. 7.5

вдоль оси (силой такого направления дверь снимают с петель).

Моментом силы относительно оси называют алгебраическую величину, равную произведению проекции силы на плоскость П, перпендикулярную к данной оси, на расстояние от этой проекции до оси, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции (рис. 7.5)

Момент считается положительным, если, смотря в направлении, противоположном направлению оси, можно видеть вращение тела вокруг оси под действием силы P (или составляющей Pt ) против хода часовой стрелки. При вращении по

ходу часовой стрелки момент считается отрицательным. Из формулы (7.8) и рис. 7.5 следует

Ml( P) 2 пл Oab, (7.9)

т. е. момент силы P относительно оси l численно равен взятой с соответствующим знаком величине удвоенной площади треугольника, основанием которого служит проекция силы P на плоскость, перпендикулярную к оси, а вершиной - точка пересечения оси с плоскостью. Если сила параллельна оси, то Pt = 0, а если ее линия действия пересекает ось, то h = 0. В обоих случаях согласно (7.8) Mt (P ) = 0, т. е. момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или ее пересекает. В обоих случаях сила и ось расположены в одной

53

если надо определить не внешние силы, а внутренние в разных сечениях балки, как это делается в сопротивлении материалов, то важно знать, где приложены силы пары. Например, внутренние силы будут различными для балок, изображенных на рис. 7.7, б и 7.7, в. Если силы пары приложены, как показано на рис. 7.7, в, то пара и ее момент условно называют сосредоточенными.

7.7. Основные виды опор тел

Наиболее распространенными Рис. 7.7 опорами тел являются шарнирно

подвижная опора, шарнирно неподвижная опора и заделка. Шарнирно подвижная опора (рис. 7.7,а, б, опора В) позво-

ляет точке В тела перемещаться вдоль некоторой линии. В шарнирно подвижной опоре возникает реакция RB , перпендикулярная направлению перемещения опоры.

Шарнирно неподвижная опора (рис. 7.7,а, б, опора А) не позволяет точке А никаких перемещений. В шарнирно неподвижной опоре возникает реакция RA произвольного направления, которую

Рис. 7.8 для удобства определения раскладывают на две взаимно перпендикулярные

составляющие XA и YA

RA XA YA.

Заделка - одна из часто встречающихся связей (опор). Пусть горизонтальная одноопорная (консольная) балка (рис. 7.8) имеет один свободный конец, а другой конец жестко заделан в стену. Стена воздействие на балку сосредоточенной силой RA (реакцией) и моментом mА, называемым реактивным

55

моментом, или моментом в заделке.

При решении задач, выгодно представлять и изображать силу RA в виде двух составляющих сил: RA XA YA. Поэтому реакцию в заделке изображают так, как показано на рис. 7.8.

7.8. Теорема Вариньона Для произвольной системы сил верна теорема Вариньона:

вектор момент равнодействующей любой системы сил относительно произвольной точки равен сумме векторов моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Теорема Вариньона позволяет значительно упрощать определение суммарного момента системы сил, поскольку не требует многократно определять моменты каждой силы.

Если все силы расположены в одной плоскости и точка О (центр моментов) находится в той же плоскости, то все векторы моменты сил будут расположены на одной прямой, проходящей через точку О, и перпендикулярной к плоскости сил, а тогда, векторное суммирование можно заменить алгебраическим

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно произвольной точки в плоскости сил равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно какой - либо оси равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же оси

привести к некоторой точке О, называемой центром приведе-

56

ния и заменить одной силой - главным вектором R и одним моментом главным моментом MO .

Главным вектором R произвольной системы сил Pk (k 1,2, ,n) называется векторная сумма этих сил

R Pk .

Главный вектор для данной системы сил величина постоянная, не зависящая от выбора центра приведения.

Главным моментом относительно точки О MO произ-

вольной системы сил называется векторная сумма моментов этих сил относительно точки О

M0 M0(Pk ).

Главный момент для данной системы сил зависит от положения центра приведения – точки О.

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор V и главный момент M0 относительно любой точки О были равны нулю.

R Pk 0; M0 M0( Pk ) 0. (7.15)

Для получения уравнений(7.15) в скалярной (координатной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих равенств на оси прямоугольной декартовой системы координат и затем использовать формулу (7.10)

Rx= Pkx = 0, Ry= Pky = 0, Rz= Pkz = 0,

MOx npOxM0( Pk ) Mx(Pk ) 0 ,

Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы

57

на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

7.9. Система сходящихся сил Выберем начало координат в точке пересечения линий

действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (7.16) моменты сил относительно этих осей равны нулю. Три последние равенства (16) принимают вид 0 = 0. Поэтому

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox к Oy в плоскости сил, видим, что Zk = 0, т. е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье уравнение (17) дает тождество: 0 = 0, которое бесполезно.

Итак, для плоской сходящейся системы сил

7.10. Теорема о трех силах Для определения неизвестных сил удобно использовать

теорему о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Эта теорема позволяет определить любую из трех сил, если две другие известны.

7.11. Система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости

Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а тем самым оси Ox и Oy будут перпендикулярны силам. Тогда все силы проецируются на ось Oz в полную величину со знаком плюс или минус в зависимости от того,

58

совпадает ли направление силы с направлением оси, или противоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси Ox и Oy равны нулю. Также равны нулю моменты всех сил относительно параллельной им оси Oz. Поэтому вместо уравнений (16) получаем систему

Итак, для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной силам, также равнялась нулю.

7.12. Произвольная плоская система сил Пусть система осей координат такова, что плоскость (х, у)

совпадает с плоскостью сил. Тогда проекции всех сил на ось Oz равны нулю: Zk = 0, и моменты всех сил относительно осей Ox и Oy также равны нулю, так как эти оси и силы лежат в одной плоскости. Согласно определению момента силы относительно точки (7.1) и момента силы относительно оси (7.8) в нашем случае момент силы относительно оси Oz совпадает с моментом этой силы относительно точки О - начала координат. Поэтому из уравнений (7.16) остаются три уравнения

Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей в плоскости этих сил равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки в плоскости этих сил также равнялась нулю. Без доказательства, отметим, что вместо уравнений равновесия (7.20) для плоской системы сил можно использовать уравнения: