2614

произведен в противоположном направлении. Трением платформы о рельсы пренебречь.

14.7.9.Из ракеты массы M порциями выбрасываются продукты сгорания, массы которых m , со скоростью относительно ракеты u. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлением воздуха определить скорость ракеты после вылета n - й порции, считая ракету сначала находящейся в покое.

14.7.10.Ракету массы M запускают вертикально вверх. Скорость истечения газов из сопла равна u. При каком расходе топлива (масса в единицу времени) сила тяги двигателя

будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение a= 19,6 м/c2.

14.7.11. Мяч массой m = 150 г ударяется о гладкую стену под углом 30 к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю силу, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча v = 10 м/с, а время удара t = 0,1 c.

14.7.12. К телу, лежащему на горизонтальной плоскости, в начале времени t0 прикладывают силу F , направленную

вдоль плоскости. После чего тело движется до остановки в течение времени t. Найти силу трения.

210

Следовательно, момент импульса вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, равен

Многие формулы для импульса и момента импульса тела по структуре аналогичны.

Импульс тела равен произведению массы тела (величины, характеризующей инертность тела при поступательном движении) на скорость центра масс тела. Момент импульса тела равен произведению момента инерции тела (величины, характеризующей инертность тела при вращательном движении) на угловую скорость тела.

По определению Kx mx(mkvk ). Для определения mx(mkvk ) следует, как и при определении момента силы,

спроецировать вектор mkvk на плоскость Oyz, т. е. на ось у', и

взять момент этой проекции относительно точки О. Из рис.

Kx (mkvk cos k )zk ( (mkxkk zk )) .

212

Сумма, стоящая в скобке, есть центробежный момент инерции Jxz (12.5). Аналогичное выражение получится для

Таким образом, момент импульса вращающегося тела относительно центра О, лежащего на оси вращения Oz, является вектором Ko , проекции которого на оси Oxyz определяются

Если ось вращения Oz будет для тела главной осью инерции (в частности, осью симметрии), то Jxz Jyz 0 и Kx Ky 0 и Ko Kz . Следовательно, если тело вращается вокруг оси, яв-

ляющейся для тела главной осью инерции (или вокруг оси симметрии тела), то вектор Ko направлен вдоль оси вращения

иего модуль равен Kz Jz .

15.2.Теорема об изменении главного момента импульса системы (теорема моментов)

Теорема моментов для материальной точки (9.8), верна для каждой из точек системы. Для точки системы с массой mk

и скоростью vk

сил, приложенных к данной точке.

Составляя такие же уравнения для всех точек системы, и складывая их, получим

d mo(mkvk ) mo(Fke ) mo(Fki ). dt

Последняя сумма - это сумма моментов внутренних сил системы и поэтому равна нулю. Тогда, согласно (15.1),

213

Это уравнение выражает теорему моментов для системы тел: производная по времени главного момента импульса системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов относительно того же центра всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Поскольку момент силы относительно некоторой оси равен проекции момента этой силы на эту ось, проецируя (15.6) на неподвижные оси Охуz, получим

Эти уравнения выражают теорему моментов относительно неподвижной оси.

Эта теорема широко используется не только при изучении вращательного движения тела относительно произвольной оси, а также в теориях гироскопа и удара. В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае можно представить суммой поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс тела, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов. Отсюда следует важность теоремы для изучения движения свободного тела (летящего самолета, снаряда, ракеты и т. п.) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения.

Ценность теоремы моментов состоит еще и в том, что она, аналогично теореме об изменении импульса системы, позволя-

214

ет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все, заранее неизвестные, внутренние силы.

15.2.1. Теорема моментов относительно центра масс Чтобы применять теорему моментов к изучению плоско-

параллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти выражение для момента импульса системы при движении системы относительно центра масс. Пусть Оxyz - неподвижные оси (рис. 15.2), относительно которых движется рассматриваемая механическая система, а: Сx’y’z' - оси, перемещающиеся поступательно вместе с центром масс

С этой системы (рис. 15.2). При этом оси Сx’y’z' движутся поступательно с ускорением aC , равным ускорению центра масс.

В 10.3 было показано, что все уравнения динамики можно составлять в подвижной системе отсчета Сx’y’z' так же, как в неподвижной системе, если к действующим на каждую точку

оси подвижной системы отсчета Сx’y’z' движутся поступа-

тельно, переносное вращение отсутствует и кориолисовы силы

инерции равны нулю. Поэтому сила Fkie будет только пере-

носной. Следовательно, уравнение (18.6) в системе Сx’y’z' примет вид

При получении этого выражения учтено, что

и сумма моментов внутренних сил относительно любой точки равна нулю.

215

Здесь vk' - скорости точек системы относительно осей сис-

темы Сх’у'z'.

Выражение (15.8) можно упростить. По определению,

Fkie mkake . Так как оси Сх’у'z' движутся поступательно, то для любой из точек Вk системы переносное ускорение ake aC .

системы материальных точек относительно центра масс сис-

темы. Здесь rC' - вектор – радиус центра масс системы относи-

тельно точки С. Вынося общий множитель aC за скобку, по-

лучаем

mC(Fkie ) ( mkrkC' ) aC ) MrC' aC . (15.10)

Поскольку точка С - начало системы координат Сх’у'z' и rC' = 0 (15.10) обращается в нуль. Тогда (15.8) принимает вид

Из сравнения (15.11) с (15.6), следует, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром С масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так же для моментов относительно осей Сх’у'z', из (15.11) получаются уравнения, аналогичные уравнениям (15.7).

Следует отметить, что в любой другой подвижной системе отсчета будет или rC' 0 , или будут не равны нулю кориоли-

совы силы инерции. Поэтому уравнение моментов будет сложнее, чем (15.11).

216

15.3. Закон сохранения главного момента импульса Из теоремы моментов получаются важные следствия.

1) Пусть сумма моментов всех внешних сил, действующих

на систему, относительно центра О, равна нулю

m0( Fke ) 0.

Тогда из уравнения (15.6) следует, что при этом Ko =

const. Следовательно, если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного центра равна нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра будет постоянен.

2) Пусть сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси Oz равна нулю

mz( Fke ) 0.

Тогда из уравнений (15.7) следует, что при этом Kz = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой – либо оси равна нулю, то главный момент импульса системы относительно этой оси будет постоянным.

Эти результаты выражают закон сохранения главного момента импульса системы. Из них следует, что внутренние силы главный момент импульса системы изменить не могут.

Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси 0z. Тогда, по формуле (15.3), Kz Jz . Если в этом

случае mz( Fke ) 0, то Jz const.

Следовательно:

а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то Jz = const и, следовательно, = const, т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае равномерно.

б) Если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее части могут изменять свое положение относительно оси вращения, что вызовет изменение Jz . При увеличении расстояний точек от оси Jz увеличи-

217

вается, при уменьшении - Jz уменьшается. Поскольку Jz const, то при увеличении Jz ее угловая скорость будет умень-

шаться, а при уменьшении Jz - увеличиваться. Таким образом, внутренние силы могут изменить угловую скорость вращения системы, так как постоянство Kz , не означает вообще постоянства .

Рассмотрим некоторые примеры.

а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстрации закона сохранения момента импульса удобно пользоваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это - круглая горизонтальная платформа на опорных подшипниках качения, которая может с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси z. Для человека, стоящего на такой платформе,

mz( Fke ) 0

и, следовательно, Jz const, Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина Jz , уменьшится и, следовательно, угловая скорость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости вращения широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно ( Kz 0), может повернуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина Kz , системы человек - платформа осталась равной нулю.

б) Раскачивание качелей. Давлением ног (сила внутренняя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следующим образом. Когда качели находятся в одном из верхних положений, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. При этом центр масс движущихся частей системы приближаются к оси

218

вращения z, величина Jz , уменьшается и угловая скорость возрастает. Это увеличение приводит к подъему качелей выше начального уровня. В результате размахи качелей будут возрастать. Увеличение кинетической энергии качелей происходит за счет энергии, выделяющейся в организме человека.

Происходящие при этом вынужденные колебания качелей называются параметрическими, так как они совершаются не под действием периодически меняющейся внешней силы, а вследствие периодического изменения параметров системы: ее момента инерции и положения центра масс относительно оси вращения.

в) Вращение снаряда в канале ствола орудия. Если рассматривать ствол и снаряд как одну систему, то силы давления пороховых газов при выстреле будут внутренними и не могут изменить величину момента импульса системы, который до выстрела был равен нулю. Следовательно, если при выстреле снаряд, благодаря наличию нарезки в стволе, начнет вращаться, например, вправо, то весь ствол при этом будет стремиться вращаться влево так, чтобы в каждый момент времени было Jсн сн Jст ст . Этому вращению препятствуют опоры, ко-

торыми ствол укреплен на лафете орудия. В результате появляется дополнительное давление на эти опоры.

г) Реактивный момент винта. Воздушный винт, установленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и сообщает отбрасываемой массе воздуха вращение. Суммарный момент импульса отбрасываемой массы воздуха и вертолета должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия винта с воздухом внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом.

Чтобы устранить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соот-

219