2614

Соотношение (9.5) выражает теорему об изменении импульса точки в конечном (интегральном) виде: изменение импульса точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Для вычислений вместо векторного уравнения (9.5) часто пользуются уравнениями в проекциях на оси координат

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.

9.4. Работа силы. Мощность Для оценки действия силы на перемещающееся тело, кро-

ме импульса силы используется работа силы. Работа характе90

ризует ту часть действия силы, которая определяет изменение модуля скорости движущейся точки.

Элементарной работой силы F на бесконечно малом перемещении dr точки ее приложения к телу называется скалярная величина

где F проекция силы F на касательную к траектории в точке приложения силы, направленную в сторону перемещения точки, a dr - бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Такое определение соответствует понятию о работе, как о характеристике действия силы, приводящего к изменению модуля скорости точки. Действи-

будет только составляющая F ,

сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же

Fn или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном движе-

нии, действует на связь. В любом из этих случаев Fn на мо-

дуль скорости не влияет, т. е. сила Fn работу не производит.

Следовательно, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение dr (9.7) или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение модуля dr и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (9.8).

91

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при 0 элементарная работа dA Fdr .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при 1800 элементарная работа dA Fdr .

Если угол 900 , т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда касательная составляющая

тельна, когда касательная составляющая силы направлена противоположно движению, т. е. когда сила замедляет движение тела.

Скалярным произведением двух векторов a и b называется скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. ab ab cos . Скалярное произведение можно выразить через проекции пе-

ремножаемых векторов на оси прямоугольной системы коор-

динат: a b axbx ayby azbz .

Как известно из кинематики, вектор элементарного перемещения точки dr vdt . Если использовать понятие о скалярном произведении двух векторов, то (9.8) примет вид

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Для определения элементарной работы силу F расклады-

вают на составляющие (рис. 9.3) Fx ,Fy , Fz по координатным осям. Элементарное перемещение MM' dr слагается из пе92

ремещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где х, у, z - координаты точки М. Поэтому (9.9) принимает вид

Работа силы при конечном перемещении из точки Mo в

точку M1 определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ

Так может быть при постоянных модуле и направлении

действующей силы ( F = const), при прямолинейном движении

1 Н*м).

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, работу которых можно определить заранее, не зная

93

закона движения точки, на которую действует сила. Из формулы (9.12) видно, что такими могут быть только постоянные силы или силы, зависящие от положения (координат) движущейся точки.

Для определения работы силы, зависящей от времени или скорости движения точки, надо дополнительно знать закон движения точки, т. е. координаты x, у, z, как функции времени. Тогда все переменные можно выразить через время t и определить интеграл (9.12). Не зная закона движения точки, или не решив предварительно основную задачу динамики, работу таких сил определить нельзя.

щая F силы F зависит от положения точки на траектории, то есть от естественной координаты , и известен график F ( )

(рис. 9.5), то работу силы F можно определить графически. Пусть положению М0 соответствует координата 0 , а положе-

нию М1 - 1 . Тогда по формуле (9.11), учитывая геометрический смысл интеграла, получим

s1

AM0M1 F d ,

s0

где - величина заштрихованной площади, умноженной на масштабный коэффициент.

9.4.2. Мощность Мощностью называется величина, определяющая работу,

силы в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

W A/ t1,

где t1 - время, в течение которого произведена работа А. 94

Вобщем случае, когда направления силы и скорости точки

ееприложения к телу не совпадают

W dA F dr F v F v . dt dt

Следовательно, мощность равна скалярному произведению составляющей силы вдоль касательной к траектории точки на скорость движения точки приложения силы.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (1 Вт = 1 Дж/с). В технических документах еще встречается единица мощности - 1 лошадиная сила, равная 736 Вт.

Работу, произведенную машиной, потребляющей постоянную мощность, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Поэтому часто применяется единица измерения работы киловатт - час (1 квт-ч = 3,6*106 Дж).

Из равенства W F v видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги F

будет тем больше, чем меньше скорость движения v . Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью, но развивать большую силу тяги.

9.5.Примеры вычисления работы

Врассмотренных ниже примерах получены формулы, которыми можно и удобно пользоваться при решении задач.

9.5.1. Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести G mg , перемещается из положения

M1 z1

AM0M1 mg dz mg dz mg z0 z1 .

M0 z0

Если точка М0 выше М1, то z0 z1 h, где h - вертикаль-

ное перемещение точки: если же точка М0 ниже точки М1, то z0 z1 z1 z0 h.

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком произведению модуля силы тяжести на проекцию перемещения точки на вертикально вверх направленную ось. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, в противном случае.

Полученный результат означает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, имеющие такие свойства, назы-

ваются потенциальными.

9.5.2. Работа силы упругости

Пусть легкая пружина, висящая на неподвижной опоре (рис. 9.7) имеет в недеформированном состоянии

Рис. 9.7 длину l0 и начало отсчета координаты х расположено в конце недеформированной пружины. Если повесить на пружину груз, то пружина примет длину l, и на груз

будет действовать сила упругости пружины F , направленная к точке подвеса. По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины l l l0 . Так как в данном случае l x , то

F c l c x .

96

Коэффициент с называют коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в Н/м. Коэффициент с численно равным силе, которую надо приложить к пружине, чтобы увеличить ее длину на 1 м.

Пусть груз переместился из положения М0 (х0) в положение М1(х1). Так как в этом перемещении Fx F cx,

Fy Fz 0, то, после согласно (9.12) работа силой упругости

Этот же результат можно получить по графику зависимости F( x), определяя площадь заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы. В полученной формуле х0 и х1- это начальное lнач и конечное lкон удлинения пружины.

Следовательно,

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций пружины.

Работа будет положительной, когда lнач lкон , т. е. ко-

гда длина растянутой пружины уменьшается, и отрицательной, когда lнач lкон , т. е. когда длина сжатой пружины увели-

чивается. Оба этих процесса при возвращении пружины к недеформированному состоянию.

Можно доказать, что формула (9.15) верна и в случаях непрямолинейного перемещение точки М. Таким образом, работа

силы F зависит только от величин lнач и lкон и не зависит

от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

97

9.5.3. Работа силы трения Пусть точка движется по шероховатой поверхности. В со-

ответствии с законом Кулона для трения, модуль действующей на точку силы трения равен fN, где f –

коэффициент трения, а N – нормальная реакция поверхности.

До начала движения сила трения направлена противоположно направлению силы, сдвигающей точку. После начала движения сила трения направлена противоположно направлению скорости перемещению точки. Следовательно, FT fN и согласно (9.11)

Если модуль силы трения постоянен, то AM0M1 FT s,

где s - длина дуги кривой M0M1, по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги M0M1, соединяющей точки M0 и M1. Следовательно, сила трения не является потенциальной силой.

9.5.4. Работа силы тяготения Если планету Земля рассматривать как однородный шар

(или шар, состоящий из однородных концентричных слоев), то на точку М с массы m, находящуюся вне шара или на его поверхности (рис. 9.9), будет действовать сила притяжения (тя-

готения) F , направленная к центру О шара и изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния r от точки М

до центра О:F km/ r2 .

Коэффициент пропорциональности k можно определить из того условия, что, когда точка находится на поверхности Зем-

98

ли (r = R, где R - радиус Земли), сила притяжения равна mg, где g - ускорение силы тяжести на земной поверхности. Тогда mg km / R2 и k gR2 .

Как видно из рис. 9.9, элементарное перемещение MM'

точки М можно разложить на перемещение Ma, равное при-

ращению dr вектор - радиуса OM r и направленное вдоль

ОМ, и на перемещение Mb, перпендикулярное к ОМ, а следо-

вательно, и к силе F . Поскольку на втором перемещении ра-

бота силы F равна нулю, а перемещение Ma направлено противоположно силе,

Пусть точка перемещается из положения М0, для которого r r0 , в положение M1 где r r1. Тогда

перемещается точка М. Следовательно, сила тяготения является потенциальной силой.

При определении работы силы тяготения на больших перемещениях следует учитывать зависимость этой силы от расстояния от центра Земли.

99