2614

1.4.3. Естественный способ Формула (1.13) показывает, что ускорение точки характе-

ризует изменение ее скорости. Модуль и направление вектора скорости v могут меняться. Рассмотрим плоскую траекторию, имея в виду, что формулы, которые будут получены, верны и для пространственных траекторий.

ваемый углом смежности, равен углу поворота касательной к траектории при переходе по траектории от точки M к точке M1.

По правилу векторного сложения MB MA AB , или v1=v + v . Вектор приращения скорости v AB .

Пусть v1>v (для случая v1<v построение аналогичное). От-

ложим вдоль вектора v1 MB отрезок MC = MA = v и предста-

вим вектор приращения скорости v виде суммы двух векто-

ров AB v AC CB . Треугольник AMC - равнобедренный. Из (1.13) имеем

Вектор ускорения точки состоит из двух векторов: нормального (первое слагаемое) и касательного (тангенциального) (второе слагаемое). Нормальное ускорение характеризует из-

11

менение направления скорости, а касательное - изменение величины скорости.

Касательным (тангенциальным) ускорением называют век-

тор

Так как при t 0 0, то в пределе вектор CB, опре-

деляющий направление вектора a , направлен по касательной к траектории в точке M. Модуль этого вектора

Проекцией касательного ускорения на направление роста координаты называют производную от проекции скорости на то же направление по времени

По знаку a нельзя судить, будет ли движение замедлен-

ным или ускоренным. Исходя из (1.10) и (1.21) легко устано-

вить, что при ускоренном движении точки знаки v и a оди-

наковые, а при замедленном движении - разные (v > 0, a < 0

Следовательно, вектор нормального ускорения an направлен по нормали (перпендикуляру) к касательной к кривой к центру кривизны траектории в точке касания.

Модуль нормального ускорения

Поскольку в любой точке прямой траектории радиус кривизны равен бесконечен = , кривизна кривой k 1/ 0, и

an 0 .

Для окружности радиус кривизны равен радиусу окружности, поэтому в любой точке окружности k = 1/R.

Итак, вектор полного ускорения точки равен сумме векторов касательного и нормального ускорений этой точки

Возможны следующие частные случаи.

Прямолинейное равномерное движение (инерциальное движение). В этом случае = , v= const. Отсюда (см. (1.21) и

(1.23)): an= 0; a = 0; и поэтому а= 0.

Движение точки, при котором величина касательного ускорения постоянна a = const, называют равнопеременным. От-

сюда, согласно (1.21) dv = a dt, после интегрирования полу-

чаем v = a t +C1. Произвольную постоянную интегрирования

13

После интегрирования получаем = v 0 t + a t2/2 + C2.

Произвольная постоянная C2 определяется из начального условия при t0 = 0, = 0. Тогда 0 = C2 и

Итак, для равнопеременного движения

При решении задач почти всегда можно выбрать начало отсчета координаты так, что 0 = 0.

14

Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Поступательное движение Поступательным называют движение твердого тела, при

котором ось, соединяющая любые две точки тела, перемещается сохраняя свою ориентацию в пространстве.

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек имеют одинаковую форму и при наложении совпадают.

При поступательном движении твердого тела для каждого момента времени скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.

Следовательно, поступательное движение твердого тела характеризуется движением одной из его точек и

изучение этого движения сводится к изучению движения одной из точек тела.

2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращением твердого тела во-

круг неподвижной оси называют движение тела, при котором все его точки, лежащие на этой оси, остаются неподвижными (рис. 2.2).

Все точки на прямой OO1, называемой осью вращения l тела, также неподвижны. Траектории всех точек тела есть окружности,

Рис. 2.2 плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Пусть плоскость Q1 скреплена с телом, а

плоскость Q неподвижна, и угол между этими плоскостями

15

при t0 = 0 равен нулю. Считая, расположение тела относительно плоскости Q1 известным, положение тела относительно плоскости Q, можно определить углом . Поэтому равенство

= (t), (2.1)

является законом, или уравнением, вращательного движения тела. Существуют две характеристики движения твердого тела.

2.2.1. Угловая скорость При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

первую производную по времени от угла поворота тела называют угловой скоростью тела

Поскольку угол измеряется в радианах, единицей измерения угловой скорости в СИ является 1 с-1, что означает радиан в секунду.

Равномерным называют вращение твердого тела с постоянной угловой скоростью: = const. Из (2.2) следует, что d =dt. Считая, что = const, после интегрирования, получаем

=t + С. При t0 = 0 0 = 0, и, следовательно, C = 0. Отсюда

=t т.е.

Часто при описании вращательных движений удобно считать угловую скорость вектором. Вектор угловой скорости имеет модуль равный и направлен вдоль оси вращения тела или точки так, чтобы, глядя в направлении, противоположном направлению этого вектора, можно было видеть вращение происходящим против хода часовой стрелки.

В технике часто используется частота вращения, измеряемая числом оборотов в минуту. Из (2.3) следует, что угловая скорость для равномерного вращения является углом поворота в единицу времени. За один оборот тело поворачивается на угол 2 рад, а если тело совершает n об/мин, то за минуту оно

2.2.2. Угловое ускорение При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси уг-

ловым ускорением тела называют первую производную по времени от угловой скорости тела

Единица измерения [ ] = 1/с2. Сравнивая (2.2) и (2.5), находим

Во многих случаях при описании вращательных движений удобно считать угловое ускорение вектором. Вектор углового ускорения имеет модуль равный и при вращении относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения тела или точки так же, как и вектор при 0, или в противоположном направлении при 0 .

Равнопеременным называют вращение твердого тела, при котором величина углового ускорения постоянна = const. Из (2.5) d = dt. Интегрируя и считая, что при t0 = 0 = 0, получаем

2.2.3. Линейные скорость и ускорение

Если r - радиус окружности, - криволинейная координа-

та точки на окружности, а - центральный угол, соответствующий координате и выраженный в радианах, то = r .

Учитывая (1.10), (2.5) и (1.20), (1.23) и (2.6), получаем выра-

жения для линейной скорости и касательного и нормального ускорений точки

17

Согласно (2.10) и (2.11), модуль полного ускорения точки

Полное ускорение образует с нормальным ускорением точки угол

arctg(a / an ) / 2 .

18

Глава 3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

3.1. Плоскопараллельное движение Плоскопараллельным, или

плоским, называют движение твердого тела, при котором существует такая неподвижная плоскость P, что расстояние от любой точки тела до этой плоскости во время движения не изменяется (рис. 3.1). При этом всякий отрезок прямой LkMk , связанный с

телом и перпендикулярный плоскости P перемещается поступательно, и поэтому все точки этого отрезка движутся одинаково. Если провести плоскость Q параллельно плоскости P так, чтобы она пересекала тело, то получим плоскую фигуру S, по движению точек которой можно определить движения всех точек тела. Например, точка Ак в плоскости Q будет двигаться так же, как и все точки отрезка LkMk . Пло-

ская фигура S будет двигаться в

плоскости Q. Следовательно, изучение плоскопараллельного движения тела сводится к изучению движения его сечения - плоской фигуры S в своей плоскости Q (плоскость ху).

Изучение плоского движения тела имеет важное прикладное значение, так как почти все части большинства механизмов и машин совершают плоскопараллельное движение.

Пусть начало поступательно движущейся системы координат Аx1y1 (рис. 3.2) (оси которой остаются параллельными одноименным осям системы Ox и Oy) помещено в произволь-

19