2614

Уравнение (11.21) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний материальной точки при отсутствии сил сопротивления. Его решение, как известно из теории дифференциальных уравнений, имеет вид x x1 x2 , где

x1 - общее решение уравнения без правой части, т.е. решение уравнения (11.3), определяемое равенством (11.5), а x2 - какое-либо частное решение полного уравнения (11.21).

Считая, p k, ищем решение x

в виде x2 Asint , где А - постоянная величина, при которой (11.21) станет тождеством. Подставляя x2 в (11.21), получим

- p2 Asin pt k2 Asin pt P0 sin pt .

Это равенство должно выполняться при любом t. Поскольку p k

Рис. 11.11

, это возможно при A(k2 - p2 ) P0 или A P0/(k2 - p2 ).

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Так как x x1 x2 , а x1 определено (11.5), то общее ре-

шение (11.21)

где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными данными.

150

Решение (11.22') показывает, что колебания точки складываются в этом случае из колебаний с частотой k и амплитудой а, зависящей от начальных условий, и называемых собственными колебаниями, и колебаний с частотой р и амплитудой А, не зависящей от начальных условий, которые называются вынужденными колебаниями.

Примеры различных колебаний x(t) приведены на рис. 11.11.

При действии различных сопротивлений, собственные колебания быстро затухают. Поэтому основными в рассматриваемом движении являются вынужденные колебания, происходящие по закону (11.22).

Рис. 11.12 Рис. 11.13

Как видно, частота р вынужденных колебаний, равна частоте изменения возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, разделив числитель и знаменатель на k , можно представить в виде

тоты р возмущающей силы к частоте k собственных колеба-

151

ний. График этой зависимости показан на рис. 11.12 кривой, помеченной значком h = 0 (другие кривые на графике дают зависимость А от р/k при наличии сопротивления).

Из графика или из формулы (11.23) видно, что, подбирая различные соотношения между р и k, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При p 0 (или p k) амплитуда равна 0 , или очень близка к этой величи-

не. Если величина р близка к k , амплитуда А становится очень большой. Когда p k , амплитуда А становится очень малой, близкой к нулю.

Из сравнения формул (11.19) и (11.22) следует, что при p k , фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все время совпадают (обе равны рt) . Если же р > k, то внося минус под знак синуса, из (11.22) получаем

Следовательно, при p k сдвиг между фазами вынужденных колебаний точки и возмущающей силы равен , то есть, когда сила Q максимальна и направлена вправо, колеблющаяся точка максимально смещена влево и т. д.

11.3.1.1. Резонанс

При равенстве частоты возмущающей силы p частоте собственных колебаний k , возникает явление резонанса. Формулами (11.22), (11.23) этот случай не описывается, поскольку при p k х обращается в бесконечность при любом t 0 . Можно доказать, что амплитуды вынужденных колебаний при резонансе со временем неограниченно возрастают (рис. 11.14). Подробнее общие свойства вынужденных колебаний и, в частности, резонанса рассмотрены ниже.

152

вынужденные колебания при резонансе при отсутствии сопротивления происходят по закону:

Как видно, амплитуды вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени. Графики x(t) этих колебаний показаны на рис. 11.14. Сдвиг фаз при резонансе равен / 2 .

11.3.2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления Пусть на точку действует восстанавливающая сила F , си-

ла сопротивления R, пропорциональной скорости и возму-

щающая сила Q (11.19). Дифференциальное уравнение движения имеет вид

mx -cx - x Q0 sin pt .

Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения

(11.13) и (11.20) 2b /m, k2 c/ m, получим

Уравнение (11.25) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний материальной точки при наличии сил сопротивления. Его общее решение имеет вид x x1 x2 ,

где x1 - общее решение однородного уравнения, т. е. уравне-

ния (11.22,) (при k b x1 определяется (11.27), а x2 - какоелибо частное решение полного уравнения (11.25). Пусть

x2 Asin pt )

153

где А и - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы (11.25) удовлетворялось тождественно.

Очевидно, что x Ap2 sin( pt ) .

Пусть pt p. Подставляя производные и функцию

x2 в левую часть уравнения (11.25) получим

A(-p2 k2 )sin 2bpAcos P0(cos sin sin cos ) .

Для выполнения этого равенства при любом , т. е. в лю-

бой момент времени t, коэффициенты при sin и cos левой и правой его частях должны быть порознь равны друг другу. Тогда,

A(k2 - p2 ) P0cos , 2bpA P0sin .

Возводя эти соотношения сначала в квадрат и складывая, а затем деля обе части этих выражений друг на друга, получаем выражения, определяющие А и

(11.22'), соответствующие случаю отсутствия сил сопротивления.

Рассматриваемые колебания являются сложными. Первое слагаемое (11.27) – это собственные колебания (рис. 11.11, а), а второе слагаемое - это вынужденные колебания (рис. 11.4).

Собственные колебания точки были изучены в 11.1. Как известно, эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени tu , называемого вре-

менем установления, ими практически можно пренебречь.

154

Если, например, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда их амплитуды будут меньше 0,01A, то величина tu

Как видно, чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b, тем время установления больше.

Один из возможных процессов установления колебаний, происходящих по закону (11.27) и начинающихся из состояния покоя, показан на рис. 11.11, в.

При других начальных условиях и соотношениях между частотами р и k1 , характер колебаний в интервале времени

0 t tu может быть совершенно другим. Однако, в любом случае, по истечении времени установления tu собственные

колебания практически затухнут и точка будет совершать колебания по закону

Именно эти колебания и называются вынужденными. Они являются незатухающими гармоническими колебаниями с амплитудой А (11.26) и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина определяет сдвиг фазы вынужденных

где - отношение частот; h - величина, характеризующая силу сопротивления, 0 - величина статического отклонения точки под действием силы Q0 (например, при колебаниях гру-

за на пружине 0 - это статическое удлинение пружины, вы-

зываемое силой Q0 ).

Деля числитель и знаменатель равенств (14.26) на k2 , получим

155

3) Во всех практически важных случаях h 1. Как видно из (11.31), если близка к единице, то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом происходит, называется резонансом.

Из формулы (11.31) видно, что A Amax , когда стоящая в

p 1 2h2 . Следовательно, резонанс наблюдается, при

немного меньше 1. Пренебрегая величиной h2 в сравнении

с единицей, можно считать, что при резонансе 1.

Для практических целей амплитуду и сдвиг фаз при резонансе можно вычислять по приближенным формулам, которые получаются из (11.31), если в них положить 1. Тогда

Колебания с амплитудой Ap , как и вынужденные колеба-

ния, устанавливаются при резонансе постепенно. Процесс установления колебаний аналогичен показанному на рис. 11.11, в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b или h , тем больше величина Ар, но одновременно будет больше и время tu установления этих колебаний (см. формулу (11.28)).

Когда сопротивление отсутствует, т. е. b h 0 , то, как было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе определяется (11.24), а график - рис. 11.14. Таким образом, при отсутствии сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно растут. Аналогично будут происходить и резонансные колебания при очень малых сопротивлениях.

157

11.3.3. Общие свойства вынужденных колебаний Из полученных результатов вытекает, что вынужденные

колебания имеют следующие важные свойства, отличающие их от собственных колебаний точки.

1)Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий.

2)Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.

3)Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит.

4)Даже при малой возмущающей силе, когда Q0 мало,

можно получить сильные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс).

5) Даже при большой возмущающей силе вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k .

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют важную роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин, механизмов и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.

Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для которого р= , где - угловая скорость вращения ротора двигателя (см. задачу 11.4). С увеличением амплитуда А колебаний вибрирующей системы (конструкции или фундамента) будет возрастать. Когда k , наступает резонанс и амплитуды вынужденных колебаний достигают максимума. При дальнейшем увеличении амплитуда А убывает. Приk амплитуда А будет практически равна нулю.

Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами p и k так, чтобы амплитуды вы-

158

нужденных колебаний были практически равны нулю

( p k ).

Противоположные тенденции используются в радиотехнике, где резонанс используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных радиостанций (настройка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например, вибрографов - приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной ко-

ры, и т. п.

Задача 11.4. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на 0 = 1 см. При каком числе обо-

ротов вала мотора в минуту наступит Рис. 11.15 резонанс?

Решение. Из формулы (11.11') сле-

дует, что период собственных колебаний балки T 2 0 / g .

При смещении центра тяжести ротора мотора относительно оси вращения ротора на вал будет действовать центробеж-

ная сила Q0 (рис. 11.15). Частота р изменения этой силы равна угловой скорости вала двигателя . Проекция этой силы на ось Ох, равна Qx Q0 sin t . Период вынужденных колебании

T1 2 / Т.

Резонанс наступит, при T T1, т. е. при

1 2 /T1 g / 0 9,81/ 0,01 31,3c 1 .

Критическое число оборотов ротора

60

n1 2 1 = 300 об/мин.

159