1306

Идентификация характеристик повреждения большеберцовой кости

Рассмотрим задачу о поперечных колебаниях большеберцовой кости, которая моделируется упругой балкой переменной жесткости. Балка считается шарнирно опертой по краям, что соответствует схеме нагружения в устройствах реальной диагностики. Повреждение моделируется переменной жесткостью балки в месте его локализации, размер которой является малым по сравнению с рабочей длиной кости. Уравнение установившихся изгибных колебаний упругой балки переменной жесткости в безразмерном виде после отделения временного множителя имеет вид [2]

Здесь g(x) – функция изменения жесткости; ρ – плотность; ω – частота колебаний; F – площадь поперечного сечения; l – длина балки. Безразмерную координату центра повреждения обозначим c; размер повреждения будем считать равным 2δ.

В качестве граничных условий в обоих случаях выступают условия шарнирного опирания:

Будем одновременно рассматривать колебания двух балок – поврежденной и неповрежденной. Известную жесткость неповрежденной балки обозначим D0, функцию жесткости поврежденной балки представим в виде функции

D , x [c −δ,c +δ],

D(x) = D1 , x [0,1]/[c −δ,c +δ],

0

где D1 – неизвестная жесткость в месте повреждения. Соответствующие ре-

зонансные частоты для поврежденной и неповрежденной балок обозначим

κ1 и κ0 .

Примечание. Повреждение может быть смоделировано с помощью функций другого вида, например экспоненциальной с двумя параметрами, идентифицировать которые также можно, пользуясь изложенным ниже подходом.

Исходя из уравнений колебаний (1) легко получить следующее соотношение взаимности:

Проводя несложные преобразования и используя граничные условия, из соотношения (3) получим:

Формула (4) связывает разность четвертых степеней обезразмеренных резонансных частот с разностью жесткостей в месте повреждения D0 − D1,

геометрическими характеристиками повреждения – координатой его центра c и размером 2δ, а также с функциями смещения w0 и w1.

Вообще говоря, собственную форму функции смещения w1 для балки с повреждением можно измерять в эксперименте, как и соответствующую резонансную частоту, однако, ввиду того, что жесткость в месте повреждения D1 является неизвестной, функция w1 также является неизвестной. Для упрощения формулы (4) воспользуемся следующими допущениями относительно собственных форм функций смещения:

w0 = w1, x [0,1] , D0w0′′ = D1w1′′, x [c −δ,c +δ].

Тогда формулу (4) можно записать в виде формулы

которую, ввиду малости δ, можно дополнительно упростить для численной реализации, заменив интеграл квадратурной формулой, например центральных прямоугольников:

Используя формулу (6), сформулируем обратную задачу.

Обратная задача. По известному набору резонансных частот для балки

сповреждением и неповрежденной балки определить параметры D1, c, δ.

Вреальном эксперименте данные о резонансных частотах изгибных колебаний большеберцовой кости можно получить с помощью специальных приборов [3] как для поврежденной кости, так и для неповрежденной. В данной задаче резонансные частоты определялись численно путем решения краевых задач вида (1), (2) с помощью метода пристрелки.

Отметим также, что ввиду специфики формулы (5) (все неизвестные величины входят в нее в виде произведения) отдельно идентифицировать возможно лишь координату центра повреждения c, в то время как жесткость D1

и размер повреждения δ удается определить только в виде некоторой общей величины δ(D0 − D1 ).

Вычислительные эксперименты

В таблице представлены результаты вычислительных экспериментов по определению параметров c и δ(D0 − D1 ) из анализа трех первых резонансных частот балок. Размер повреждения полагался равным 2δ = 0,02, жесткости –

Отметим, что при симметричном расположении повреждения относительно концов балки (эксперименты II и III) резонансные частоты получаются одинаковыми. Результаты вычислительных экспериментов показывают, что предложенный подход действительно достаточно эффективен для определения механических и геометрических характеристик повреждений из анализа их резонансных частот.

Благодарности

Работа выполнена в рамках проекта № 9.665.2014/K на выполнение на- учно-исследовательской работы в рамках проектной части Государственного задания в сфере научной деятельности.

Список литературы

1.Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. – М.: Физматлит, 2007. – 223 с.

2.Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – Т. 17, № 1. – С. 1016–1023.

3.Ткаченко С.С. Остеосинтез. – Л.: Медицина, 1987.

УДК 539.3

ВОЗБУЖДЕНИЕ И СОКРАЩЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО МИОКАРДА. КОНТИНУАЛЬНАЯ 1D-МОДЕЛЬ

Н.А. Викулова1, А.Д. Васильева1, 2, О.Э. Соловьёва1, 2, В.С. Мархасин1, 2

1Институт иммунологии и физиологии УрО РАН,

Россия, 620041, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 106, n.vikulova@iip.uran.ru

2Уральский федеральный университет, Россия, 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Ключевые слова: реакционно-диффузионное уравнение, деполяризация, реполяризация, электрическая волна, миокард, сплошная среда.

Введение

Известно, что миокард существенно неоднороден структурно и функционально [1]. В экспериментах на изолированных кардиомиоцитах показано, что клетки субэпикардиального (ЭПИ) слоя стенки левого желудочка (ЛЖ) сердца демонстрируют более короткий потенциал действия (ПД), более быструю кинетику внутриклеточного кальция, а также более быстрое ненагруженное сокращение-расслабление, чем клетки субэндокардиального (ЭНДО) слоя [2]. Целью работы является исследование в рамках математической модели особенностей электромеханического поведения сердечной ткани, обладающей трансмуральным градиентом электрофизиологических и механических свойств кардиомиоцитов.

Математическая модель

Поведение полоски мышечной ткани ЛЖ сердца описывается математической моделью, в которой кардиомиоциты рассматриваются как точки одномерной (1D) сплошной среды, взаимодействующие между собой как электрически, так и механически [3]. Модель представляет собой сопряженную систему уравнений, объединяющую уравнение электродиффузии (уравнение реакции-диффузии), описывающее распространение волны возбуждения в миокарде, алгебраические уравнения, описывающие механическую функцию волокна, и обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие функцию каждой точки-клетки ткани. Трансмуральная неоднородность функциональных свойств волокна имитируется за счет детального описания электромеханического поведения клеток-точек среды при помощи разработанных нами ранее моделей одиночных кардиомиоцитов ЭНДО-, ЭПИ- и промежуточного (МИД) слоев стенки ЛЖ [4]. Параметры, определяющие особенности электромеханической функции клеток ЭНДО- и ЭПИ-слоев, описаны в работе [4]. Параметры клеток МИД-сегмента мышечной полоски линейным образом менялись от параметров ЭНДО- к параметрам ЭПИ-клеток.

В работе рассматривалось поведение волокна сердечной мышцы в изометрических условиях. Длина покоя составляла 10 мм, при растяжении под преднагрузкой – 12,7 мм. Протяженность ЭНДО- и ЭПИ-сегментов составляет 40 и 20 % от общей длины волокна соответственно [5].

Волна возбуждения запускалась электрической стимуляцией одной из внешних границ волокна и распространялась либо в направлении от ЭНДО- к ЭПИ-сегменту (ЭНДО → ЭПИ), что соответствует последовательности возбуждения миокарда ЛЖ в норме, либо в противоположном направлении (ЭПИ → ЭНДО), что имитирует аномальную последовательность активации. Скорость волны возбуждения менялась в зависимости от задаваемого коэффициента электродиффузии (D = 50; 150; 300; 450; 600 мм2/с) [3].

Результаты

В рамках модели показано, что скорость волны возбуждения vdw неоднородного волокна не зависит от направления распространения возбуждения (рис. 1, а). При увеличении D от 50 до 600 мм2/с скорость vdw увеличивается с 0,15 до 0,90 м/с (в 6 раз) в обоих случаях.

Рис. 1. Зависимость скорости волны возбуждения vdw (а) и дисперсии реполяризации (ДР) (б) от коэффициента электродиффузии D в моделях неоднородного волокна, имитирующих распространение возбуждения от субэндокардиальных клеток к субэпикардиальным (ЭНДО → ЭПИ)

и в противоположном направлении (ЭПИ → ЭНДО)

Существенные различия между двумя рассматриваемыми случаями наблюдаются в выраженности градиента реполяризации волокна. Количественной оценкой неоднородности реполяризации миокарда является дисперсия реполяризации (ДР), определяемая как разность между моментами достижения 80 % реполяризации граничными клетками волокна. На рис. 1, б показана зависимость ДР от коэффициента электродиффузии D в моделях волокна с разным направлением волны возбуждения. Отрицательная ДР указывает на то, что раньше по времени реполяризуются клетки, активировавшиеся позднее, как это происходит в интактном ЛЖ в норме. Напротив, положительные значения ДР указывают на то, что реполяризация заканчивается раньше в тех клетках волокна, которые активировались первыми, т.е. направление волны

Кроме того, при аномальной активации волокна ЭПИ → ЭНДО возникает существенная неоднородность локальных сокращений клеток в различных сегментах: ЭПИ-клетки испытывают значительные укорочения, тогда как ЭНДО-клетки только растягиваются в течение сократительного цикла (см. рис. 2, ∆L). Такая механическая дискоординация приводит к значительному падению амплитуды изометрической силы, генерируемой волокном (на 60 % от амплитуды силы одиночных клеток), тогда как при распространении возбуждения ЭНДО → ЭПИ падение силы составляет лишь 2 % (см. рис. 2, F).

Обсуждение

Результаты, полученные на континуальной модели одномерной полоски сердечной мышцы, подтверждают выводы, сделанные нами ранее на дискретных двух- и мультиэлементных моделях неоднородного миокарда: последовательность и скорость возбуждения в неоднородном миокарде являются ключевыми факторами оптимизации его электрической и механической функции [6]. Направление волны возбуждения ЭНДО → ЭПИ, а также динамическое изменение электромеханических свойств клеток, вызванное их механическим и электрическим взаимодействием, обеспечивают синхронизацию реполяризации миоцитов стенки желудочка, правильное направление волны реполяризации, а также увеличивают эффективность их сократительного ответа. Аномальное направление активации ЭПИ → ЭНДО приводит к существенному нарушению и электрической, и механической функций миокарда.

Благодарности

Поддержано грантами РФФИ № 14-01-31134, 14-01-00885, Президиума УрО РАН 12-M-14-2009, 12-П-4-1067, программы Президиума РАН № 1, программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (Постановление Правительства РФ № 211 от 16.03.2013).

Список литературы

1.Мархасин В.С., Соловьева О.Э. Чумарная Т.В., Сухарева С.В. Проблема неоднородности миокарда // Рос. физиол. журн. им. И.М. Сеченова. – 2009. – Т. 95, № 9. – P. 919–943.

2.Wan X., Bryant S. M., Hart G. A topographical study of mechanical and electrical properties of single myocytes isolated from normal guinea-pig ventricular muscle // J. Anat. – 2003. – Vol. 202, № 6. – P. 525–536.

3.Katsnelson L.B., Vikulova N.A., Kursanov A.G., Solovyova O.E., Markhasin V.S. Electromechanical coupling in a one-dimensional model of the heart muscle fiber // Russian J. Numer. Anal. Math. Model. – 2014. – Vol. 29 (в печати).

4.Васильева А.Д., Соловьева О.Э. Электромеханическое сопряжение в кардиомиоцитах трансмуральных слоев левого желудочка морской свинки // Биофизика. – 2012. – Т. 57, № 5. – C. 852–859.

5.Xue J., Chen Y., Han X., Gao, W. Electrocardiographic morphology changes with different type of repolarization dispersions // J. Electrocardiol. – 2010. – Vol. 43, no. 6. – P. 553–559.

6.Solovyova O., Katsnelson L.B., Kohl P., Konovalov P., Lookin O., Moskvin A.S., Vikulova N., Protsenko Yu.L., Markhasin V.S. Activation sequence as a key mechanism of functional selforganization of myocardium // Phil. Trans. R. Soc. – 2006. – Vol. 364. – P. 1367–1383.

УДК 612.13

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКРУЧЕННОГО ТЕЧЕНИЯ В СОСУДЕ СО СТЕНОЗОМ МЕТОДАМИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И УЛЬТРАЗВУКОВОГО СКАНИРОВАНИЯ

Я.А. Гатаулин, Д.К. Зайцев, Е.М. Смирнов, Е.А. Федорова, А.Д. Юхнев

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Россия, 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, a.yukhnev@mail.ru

Ключевые слова: биомеханика, закрутка, ультразвук, моделирование, стеноз.

Введение

Многочисленные клинические исследования указывают на существование закрученного (вращательно-поступательного) течения крови на отдельных участках сердечно-сосудистой системы человека. Экспериментально феномен закрученного движения крови был зарегистрирован при изучении кровотока в аорте [1], бедренной артерии [2] и общей сонной артерии [3]. Сегодня закрученные течения крови привлекают к себе все более пристальный интерес исследователей нормальной и патологической гемодинамики [4].

Цель настоящей работы – изучить влияние закрутки на течение за стенозом.

Методы исследования

Экспериментальная установка

Для проведения экспериментального исследования закрученных и незакрученных течений в модели сосуда со стенозом использовалась установка, которая представляла собой замкнутый контур с циркулирующей в нем жидкостью. Поток создавался центробежным насосом, регулировался многооборотным регулятором расхода и контролировался электромагнитным расходомером. При максимальном расходе число Рейнольда Re, построенное по внутреннему диаметру трубки и среднерасходной скорости, составляло 960.

Модель сосуда со стенозом, отлитая из силикона, представляла собой трубку диаметром D = 6 мм и толщиной стенки 1,5 мм. На расстоянии 25 мм от входного сечения трубки располагалось начало локального сужения, моделирующего стеноз сосуда. Длина стеноза 12 мм, проходной диаметр в самом узком месте 3 мм. В любом поперечном сечении на участке несимметричного сужения просвет сосуда имел форму круга. Степень стеноза, рассчитанная по площади, составляла 75 %.

Закрутка течения создавалась скрученной лентой, вставленной в трубку перед входом в модель сосуда. Лента, изготовленная по технологии быстрого

прототипирования, имела поворот на 180º и следующие размеры: ширина 6 мм, длина 20 мм, толщина 0,4 мм. Отношение максимальных окружной и осевой скоростей в течении перед стенозом близко к зарегистрированному клинически физиологическому значению 0,2 [3]. На входе в закручивающее устройство поток имел параболический профиль скорости, сформированный в результате прохождения потоком длинного прямолинейного участка.

Методика измерений

Измерения проводились линейным датчиком ультразвукового сканера LogicScan 64 с рабочей частотой 5 МГц. Допплеровский спектр скоростей регистрировался и обрабатывался программой EchoWave II.

Для измерений максимальной осевой скорости Vx max в дуплексном режиме датчик сканера закреплялся на державке над моделью сосуда со стенозом под углом 60° к направлению потока так, чтобы плоскость сканирования совпадала с плоскостью симметрии сосуда, измерительный объем составлял 5 мм. Вследствие относительной малости поперечных скоростей в сужении сосуда, погрешность измерения осевой скорости из-за неопределенности доплеровского угла была незначительна.

Для оценки длины L рециркуляционной зоны датчик закреплялся поперек сосуда под углом 60° и устанавливался в сечении, где на изображении поля осевой скорости (в режиме цветового доплеровского картирования) отчетливо видна зона обратных скоростей. Датчик сдвигался вниз по течению до достижения сечения, в котором обратные скорости исчезают. Расстояние между этим сечением и минимальным проходным сечением стеноза принималась за длину рециркуляционной зоны.

Вычислительные модели и средства

Исходно решалась полная система уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в предположении стационарного ламинарного характера движения жидкости. Однако, учитывая результаты проведенных экспериментов, свидетельствовавших о наличии интенсивных пульсаций скорости за стенозом, дополнительно были проведены расчеты на основе уравнений Навье – Стокса, осредненных по Рейнольдсу. Для замыкания задачи была выбрана широко используемая модель турбулентности k-ω SST [5].

Расчеты по методу контрольных объемов проводились с использованием программного пакета ANSYS CFX 14.0 со вторым порядком точности пространственной дискретизации. Задавались динамический коэффициент вязкости µ = 0,001 Па·с и плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3.

Расчетная область общей длиной 160 мм включала в себя модель сосуда со стенозом и завихритель в виде участка трубки со вставленной скрученной лентой.

На входе в расчетную область задавалось распределение скорости согласно решению Пуазейля для развитого ламинарного течения и (в случае использования k-ω SST модели) постоянные по сечению параметры турбулентности очень малой интенсивности. На стенках ставилось условие прилипания, а на выходе – условие постоянного давления.

Расчеты проводились при трех значениях среднерасходной скорости Vср = 6; 11; 16 см/с. Соответствующие числа Рейнольдса Re = ρVсрD/µ равны

360; 660 и 960.

Результаты

По данным ультразвуковых измерений было установлено, что для чисел Рейнольдса Re = 200–500 закрутка потока приводит к уменьшению на 20 % длины зоны рециркуляции, образующейся за стенозом (рис. 1). Эффект уменьшения размера зоны рециркуляции объясняется увеличением интенсивности перемешивания жидкости внутри зоны рециркуляции. Как следствие, можно предположить, что закрутка потока в реальном кровеносном сосуде сокращает область потенциального разрастания атеросклеротической бляшки.

Рис. 1. Зависимость измеренной длины зоны рециркуляции от числа Рейнольдса

Сравнение измеренных и расчетных распределений максимальной осевой скорости вдоль оси модели сосуда со стенозом показало, что приближение стационарного ламинарного течения не подходит даже при числах Рейнольдса в несколько сотен (рис. 2). Неустойчивости, развивающиеся в слое смешения высокоскоростного и «застойного» потока за стенозом, приводят к быстрому нарастанию пульсаций и проявлению эффектов вихревой вязкости. Применение модели турбулентности k-ω SST дало значительно прибли-