1306

Столкновение бегуна с небольшим препятствием

Человек, бегущий со скоростью v, внезапно спотыкается о малое препятствие. Требуется определить ударный импульс и работу ударных сил при ударе в рамках классической теории абсолютно неупругого удара, пренебрегая отклонением тела бегуна от вертикали.

а – сплошной однородный стержень; б – стержень с шарниром посредине; S – ударный импульс, действующий на ступню; S2 = – S1 – внутренний ударный импульс в шарнире C

При решении этой задачи мы используем две простые модели бегуна: однородный стержень массой m и длиной l, движущийся по горизонтальной поверхности, и стержень той же длины и массы с идеальным шарниром посредине, моделирующим возможность сгибания в пояснице (рис. 1).

В случае сплошного стержня (рисунок, а) его поступательное движение переходит во вращение вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через пре-

пятствие O. Так как ударный импульс не создает момента относительно оси Oz, угловую скорость ω найдем из закона сохранения кинетического мо-

мента LOz относительно этой оси. Для поступательного движения

Таким образом, ударный импульс и работа ударных сил для составного стержня с шарниром посредине почти в два раза меньше, чем для сплошного стержня, так как модель с шарниром более подвижна.

Заключение

Приведенные примеры показывают, что задачи биомеханики вполне доступны для студентов, изучающих теоретическую механику, однако полученные решения требуют дальнейшего уточнения. Например, раскрытие парашюта считается мгновенным, тогда в момент раскрытия в уравнении (2) v = v1 ; k = k2 =1/ v2 , откуда следует отрицательное ускорение a = dv / dt =

= g[1 − (v1 / v2 )2 ] . При наших параметрах a = −99g, а это человек вынести

не в состоянии. Для более реалистичного решения следует учесть, что для заполнения парашюта воздухом требуется некоторое время. Задача о спотыкании бегуна, безусловно, очень схематична, однако поворот верхней половины составного стержня противоположно нижней половине указывает на обратное сгибание позвоночника, что может привести к его повреждению.

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛЕВОГО ПРЕДСЕРДИЯ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА ANSYS

П.И. Свирепов1, Т.В. Матановская2

1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, svirepovp.i@yandex.ru

2Федеральный центр сердечно-сосудистой хирургии,

Россия, 614013, г.Пермь, ул. Маршала Жукова, 35, tania-larigina@yandex.ru

Ключевые слова: моделирование, левое предсердие, митральная регургитация.

Введение

Левое предсердие находится в углу между артериальными стволами и правым предсердием, ограничиваясь передней венечной и задней межпредсердной бороздами. В левом предсердии различают верхнюю, латеральную, медиальную, переднюю изаднюю стенки [1]. Толщина стенки составляет 2–3 мм.

У левого предсердия имеется 5 отверстий, четыре из них расположены вверху и сзади – это отверстия легочных вен – по два с каждой стороны [2]. На нижней стенке левого предсердия расположено левое предсердножелудочковое отверстие [3].

Недостаточность митрального клапана – это неполное смыкание створок клапана во время систолы желудочков, сопровождающееся регургитацией крови из левого желудочка в левое предсердие [4].

Различают четыре степени митральной регургитации: I степень – митральная регургитация составляет менее 15 % от ударного объема левого желудочка; II степень – 15–30 % от ударного объема; III степень – 30–50 % от ударного объема; IV степень – более 50 %.

Ишемическая митральная недостаточность остается наиболее актуальной и дискутируемой проблемой в лечении пациентов с ишемической болезнью сердца.

В работах Y.Y. Liu и соавторов было показано, что показатели деформации и скорости деформации левого предсердия являются более ранними и чувствительными маркерами объемной перегрузки, чем геометрические изменения предсердия [5].

Материалы и методы

На основе данных, полученных при обследовании в Федеральном центре сердечно-сосудистой хирургии (г. Пермь) пациентов с различной степенью митральной регургитации осуществлен корреляционный анализ параметров поведения левого предсердия.

Участниками исследования стали пациенты, поступившие на обследование в ФЦССХ с ишемической болезнью сердца. Критериями включения в группы являлись: хроническая ишемическая митральная недостаточность 1–4-й степени, наличие гемодинамически значимых поражений коронарных артерий при проведении селективной ангиографии.

На основе корреляций Пирсона построены корреляционные плеяды (рис. 1). Сплошными линиями изображена прямая зависимость, пунктирными – обратная. Двойная линия указывает на зависимость между величинами с уровнем значимости p ≤ 0,01, одинарная – p ≤ 0,05. Корреляции и уровень

значимости указан рядом с линиями связи между параметрами (см. рис. 1).

Рис. 1. Корреляционная плеяда для исследуемых параметров

Использованы следующие обозначения: MP – митральная регургитация; Vel1 – скорость движения стенки левого предсердия в проекции четырех

камер; Vel2 – скорость движения стенки левого предсердия в проекции двух камер; ε1 – общая деформация стенки левого предсердия в проекции четырех камер; ε2 – общая деформация стенки левого предсердия в проекции двух камер; V ε1 – общая деформация стенки левого предсердия в проекции четырех камер; V ε2 – общая деформация стенки левого предсердия в проекции двух камер; Vmin – минимальный объем левого предсердия; VP – объем левого предсердия; Vmax – максимальный объем левого предсердия.

Численное моделирование деформирования левого предсердия в пакете ANSYS осуществлялось в нелинейно-упругой постановке. Механические свойства стенок левого предсердия описывались нелинейным гиперупругим потенциалом Муни-Ривлина [6].

На основе экспериментальных данных численным перебором были подобраны коэффициенты – параметры потенциала для здорового предсердия и предсердия с митральной регургитацией.

Левое предсердие аппроксимировалось трехосным эллипсоидом с переменными осями [7]. Размеры были взяты из предоставленной выборки, также типичные размеры левых предсердий указаны в материалах научного симпозиума «Актуальные вопросы морфогенеза сердца» [8].

Модель здорового предсердия (рис. 2) строилась путем изменения геометрии трехосного эллипсоида и состояла из 37 объемов, что упрощает построение сетки конечных элементов. Длина левого предсердия по оси Ох составляет 40 мм, по Оу – 46 мм, по Оz – 35 мм. Начальный объем здорового левого предсердия без приложенной на внутреннюю поверхность нагрузки составляет 33,72 см3.

Длина предсердия увеличенного объема по оси Ох составляет

37,5 мм, по Оу – 77,8 мм, по Оz –

72 мм. Начальный объем предсердия

Рис. 2. Модель здорового левого предсердия без приложенной на внутреннюю3

поверхность нагрузки 109,92 см . На внутреннюю поверхность устья митрального клапана, а также ле-

гочных вен задан запрет нормальных перемещений, на межпредсердную перегородку задан запрет перемещений. Для решения поставленной задачи был выбран объемный элемент SOLID186.

Давление, равное в диастолу 2–4 мм рт. ст., в систолу повышается до 9– 12 мм рт. ст. [1]. Таким образом на внутреннюю поверхность левого предсердия пошагово задано давление 1–12 мм рт. ст., с шагом 1 мм рт. ст.

Результаты

Получена расчетная зависимость объема левого предсердия от внутреннего давления в норме (рис. 3, а) и при патологии (рис. 3, б).

С помощью корреляционного анализа выявлена прямая зависимость объема левого предсердия и скорости деформации от степени митральной регургитации (объем левого предсердия увеличивается, а упругие характеристики уменьшаются, что ведет к уменьшению процентного увеличения объема предсердия во время сердечного цикла).

Рис. 3. Графики зависимости объемов здорового левого предсердия (а) и левого предсердия с патологией (б) от давления

Анализ численного решения показал, что увеличение объема здорового левого предсердия происходит за счет изменения медиально-латерального, переднезаднего размеров и длинника. Объем же предсердия с митральной регургитацией изменяется в основном за счет длинника и медиальнолатерального размера.

Список литературы

1.Гавриш А.С. Строение сердечно-сосудистой и лимфатической системы // Руководство по кардиологии / под ред. В.Н. Коваленко. – Киев: МОРИОН, 2008. – С. 10–71.

2.Сапин М.Р., Бочаров В.Я., Никитюк Д.Б. [и др.]. Анатомия человека: в 2 т. Т. 2 / под ред. М.Р. Сапина. – Изд. 5-е, перераб. и доп. – М.: Медицина, 2001. – 640 с.

3.Синельников Р.Д., Сидельников Я.Р. Атлас анатомии человека: учеб. пособие: в 4 т. Т. 3. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Медицина, 1996. – С. 232.

4.Ройтберг Г.Е., Струтынский А.В. Внутренние болезни. Сердечно-сосудистая система. – М.:

Бином-пресс, 2007. – 855 c.

5.Liu Y.Y., Xie M.X., Xu J.F. [et al.]. Evaluation of left atrial function in patients with coronary artery disease by two-dimensional strain and strain rate imaging // Echocardiography. – 2011. – Vol. 28. – Р. 1095–1103.

6.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.

7.Козлов В.А., Стебельский С.Е., Маковецкий В.Д., Юрченко И.В. Топография и форма полостей сердца в онтогенезе // Прикладная анатомия сердца / под ред. В.А. Козлова. – Днепропетровск, 1996. – С. 6–49.

8.Вакуленко И.П., Сердюк А.Н., Брюханов В.М. Размеры предсердий сердец человека зрелого возраста по данным двумерной эхокардиографии // Актуальные вопросы морфогенеза сердца: материалы науч. симпозиума, посвященного 80-летию кафедры анатомии человека ДГМА. – Днепропетровск, 1996. – С. 30–34.

УДК 531/534: [57+61]

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ КОМПРЕССИОННОГО ПЕРЕЛОМА ПОЗВОНОЧНИКА ЧЕЛОВЕКА

Р.Л. Седов1, С.В. Орлов2, Н.Д. Бобарыкин3

1Санкт-Петербургский гуманитарный университет профсоюзов,

Россия, 192238, г. Санкт-Петербург, ул. Фучика, 15, rsedoff@yandex.ru.

2Институт биомеханики позвоночника и суставов,

Россия,236022, г. Калининград, ул. Маяковского, 6-17, ser-orlov@yandex.ru,

3Калининградский государственный технический университет,

Россия, 236022, г. Калининград, Советский пр., 1, bobarykin48@mail.ru.

Ключевые слова: биомеханика, численные методы, дифференциальные уравнения.

Введение

Математическое моделирование в биомеханике играет важную конструктивистскую роль. Однако построенные модели ввиду своей сложности трудно доступны медицинским специалистам. В данной работе предлагается рассмотреть информационно-аналитическую систему моделирования компрессионного перелома позвоночника человека (ИАС). Структура предполагаемой ИАС включает в себя следующие компоненты: МРТ, исходные механические параметры системы позвонков, математическую модель системы трех позвонков, параметры возможного фиксатора для стабилизации позвоночника, выходные данные модели, базу данных принятия решения.

Под нестабильностью позвоночника подразумевают такое нарушение взаимодействия между телами позвонков, когда вследствие сугубо механических причин изменяются нормальные законы статики и кинетики позвоночного столба на определенном участке, что проявляется в избыточной и аномальной подвижности тел, некорректных их перемещениях, выходящих за физиологические пределы [7]. Это может являться причиной многочисленных сугубо медицинских проблем, часто требующих хирургических методов лечения [8].

Для правильного хирургического лечения нестабильности позвоночника необходимым условием является оптимальный подбор корригирующих фиксирующих приспособлений, способных предотвратить некорректные перемещения тел позвонков и одновременно максимально точно протезировать нормальные упруго-динамические характеристики связочно-капсульного аппарата позвоночника [2]. Для поиска оптимальных характеристик фиксаторов позвоночника разработана модель трёхпозвонкового комплекса при фиксации крайних позвонков системы жесткой пластиной [4]. Результатами исследований является предпочтительный выбор использования гибкого фиксатора, состоящего из пружинных элементов.