1306

расстоянии между объектами наблюдаем большие деформации, значит, будет изменяться структура ткани (рис. 5). Также построен график зависимости главного напряжения от расстояния между отверстиями (рис. 6). Получено, что чем меньше расстояние между отверстиями, тем больше напряжение в центре пластины. Данная модель может применяться при решении задач о взаимодействии клеток, людей. Практически применяется при посадке деревьев.

Список литературы

1.Няшин Ю.И., Лохов В.А. Основы биомеханики: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос.

техн. ун-та, 2007. – 210 с.

2.Душков Б.А., Королев А.В., Смирнов Б.А. Психология труда, профессиональной, информационной и организационной деятельности: словарь. – 3-е изд. – М.: Академический Проект: Деловая книга, 2005. – 848 с.

3.Веккер Л.М. Психика и реальность. Единая теория психических процессов. – М.: Смысл, 1998. – 685 с.

УДК 539.3+612.311

АНАЛИЗ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЧЕРЕПА И ОПОРНЫХ ЗУБОВ ПРИ ВЕРХНЕЧЕЛЮСТНОМ РАСШИРЕНИИ

С.М. Босяков, А.В. Винокурова

Белорусский государственный университет,

Беларусь, 220030, г. Минск, пр. Независимости, 4, bosiakov@bsu.by

Ключевые слова: расширение верхней челюсти, ортодонтический аппарат HYRAX, напряженно-деформированное состояние черепа.

Введение

При лечении перекрестного прикуса, как правило, применяют расширение верхней челюсти с использованием больших по величине трансверсальных сил. Для этого используются различные ортодонтические конструкции [1]. Чтобы оценить влияние быстрого расширения верхней челюсти на костные структуры верхнечелюстного комплекса пациентов без расщелины и с расщелиной нёба, выполнено достаточно много конечно-элементных исследований. Их результаты и история развития этого направления отражены в работах [2–9]. Как правило, в исследованиях, связанных с расчетом напря- женно-деформированного состояния верхнечелюстного комплекса, действие ортодонтического аппарата не моделируется, несмотря на то, что направление сил играет важную роль в определении смещений и напряжений в костях верхнечелюстного комплекса. Вопрос о направлении и распределении сил, действующих во время верхнечелюстного расширения, по-прежнему остается актуальным. Целью настоящей работы является конечно-элементный расчет перемещений костей черепа и опорных зубов при активации различных конструкций ортодонтического аппарата HYRAX.

Материалы и методы

Стереолитографические модели черепа и опорных зубов получены с применением программы для обработки медицинских изображений

MIMICS 14.12 (Materialise BV, Belgium) на основании 210 томографических изображений высушенного трупного интактного черепа взрослого человека с зубами. Конечно-элементное разбиение выполнялось в автоматическом режиме. Моделирование периодонтальной связки не выполнялось, поскольку ее наличие практически не влияет на распределение напряжений в костных структурах черепно-лицевого комплекса при верхнечелюстном расширении [10]. Шовные соединения верхнечелюстного комплекса также не учитывались в конечно-элементной модели. Это обусловлено тем, что в черепе взрослого человека они частично или полностью окостеневают и, кроме этого, имеют малую толщину [8].

Модель ортодонтического аппарата HYRAX с коронками построена с использованием графических примитивов пакета SolidWorks 2010 (SolidWorks Corporation, USA). Коронки аппарата присоединены стержнями к пластинам, которые могут раздвигаться в горизонтальной плоскости за счет поворота винта. При описании контактного взаимодействия между коронками и зубами, а также между верхней челюстью и зубами выбран тип Bonded, соответствующий отсутствию скольжения и проникновения. Граничные условия, накладываемые на череп, соответствовали жесткой заделке узлов, находящихся в окрестности большого затылочного отверстия [3, 6, 8]. Перемещение каждой пластинки составляет 0,4 мм (соответствует активации винта вполоборота) [1]. Упругие свойства тканей черепа, зубов и материала, из которого изготовлен ортодонтический аппарат, указаны в таблице.

Упругие свойства материалов

Расчет напряженно-деформированного состояния черепа проводился для двух конструкций ортодонтического аппарата. Первая конструкция характеризуется расположением стержней и винта в одной горизонтальной плоскости. Во второй конструкции винт аппарата располагается на 8 мм ближе к нёбу по отношению к этой горизонтальной плоскости.

Перемещения черепа

Конечно-элементный расчет перемещений верхнечелюстного комплекса выполнялся в пакете ANSYS Workbench 13 (ANSYS Inc., USA). Для интакт-

ного черепа трансверсальные перемещения верхней челюсти на левой стороне черепа уменьшаются более чем в 2 раза, на правой стороне более чем в 6 раз для конструкции с винтом у нёба по сравнению с горизонтальной конструкцией. В сагиттальной плоскости при горизонтальной конструкции аппарата область верхней челюсти в окрестности передних резцов незначительно смещается назад вдоль оси 0y (наибольшее перемещение в этом направлении составляет 17,5 % от перемещения пластинки аппарата). Участки верхней челюсти у моляров и некоторые другие кости черепа, в частности скуловые, перемещаются вперед. В этом направлении наибольшее перемещение 7,3 % от смещения пластинки аппарата. Соответствующий характер

34 Всероссийская конференция «БИОМЕХАНИКА – 2014»

имеет распределение перемещений вдоль оси 0z. Область верхней челюсти у передних резцов и у носового хода незначительно опускается вниз, остальные костные структуры черепа смещаются вверх.

Распределение перемещений вдоль сагиттального направления качественно изменяется при установке винта аппарата у нёба. Кости черепа, расположенные выше горизонтальной плоскости, проходящей через носовой гребешок, смещаются вперед, область верхней челюсти, расположенная ниже, перемещается назад. В вертикальном направлении передняя область черепа (верхняя челюсть, носовая, лобная и скуловые кости) смещаются вниз, теменная и затылочная области черепа поднимаются вверх. Таким образом, череп поворачивается в сагиттальной плоскости, центр вращения находится в области носового хода. Это соответствует результатам работы [11] по нахождению положения центра сопротивления и центра вращения на основании голографической интерферометрии черепа при верхнечелюстном расширении.

Сравнительный анализ трансверсальных перемещений для черепа с расщелиной показывает, что качественный характер распределения перемещения костных структур черепа практически не изменяется. В то же время величины трансверсальных перемещений черепа с горизонтальной конструкцией аппарата в среднем в три раза превышают соответствующие перемещения для конструкции с винтом у нёба. В сагиттальной плоскости имеют место как качественные, так и количественные отличия перемещений верхнечелюстного комплекса. Перемещения в направлении оси 0y для черепа с горизонтальной конструкцией аппарата имеют положительные значения для области верхней челюсти в области передних резцов, перемещения теменной части направлены противоположно. Если винт аппарата смещен на 8 мм ближе к нёбу, практически вся верхняя челюсть незначительно перемещается назад, теменная часть существенно наклоняется вперед. Точки скуловой кости получают наибольшие перемещения в положительном вертикальном направлении; область верхней челюсти в окрестности расщелины незначительно опускается вниз. Если используется конструкция аппарата с винтом у нёба, область верхней челюсти у альвеолярных отростков равномерно опускается вниз. Наибольшие положительные перемещения (вверх) имеют точки затылочной кости.

Заключение

При горизонтальном расположении стержней и винта аппарата возникают существенные смещения вверх боковых частей верхней челюсти, поворот половин верхней челюсти в горизонтальной плоскости, а также значительное наклонно-вращательное перемещения опорных зубов. К основному преимуществу горизонтального расположения ортодонтического аппарата можно отнести значительные трансверсальные перемещения верхней челюсти. При смещении винта аппарата к нёбу трансверсальные перемещения существенно уменьшаются. В то же время многократно увеличиваются пере-

мещения верхнечелюстного комплекса и опорных зубов в сагиттальной плоскости. Это приводит к повороту черепа вперед и вниз в этой плоскости.

Возникновение нежелательных перемещений в сагиттальной плоскости указывает на необходимость прогнозирования оптимального расположения винта аппарата относительно нёба. Представляется целесообразным изменение размеров пластинок аппарата, которым крепятся стержни, чтобы избежать поворота верхней челюсти в горизонтальной плоскости, а также корректно закреплять стержни аппарата на коронках, причем как по высоте, так и по длине окружности коронки.

Благодарности

Работа поддержана Государственной программой научных исследований «Конвергенция» (задание 1.8.01).

Список литературы

1.Chaconas S.J., Caputo A.A. Observation of orthopedic force distribution produced by maxillary orthodontic appliances // American Journal of Orthodontics. − 1982. − Vol. 82. − P. 492−501.

2.Boryor A., Geigera M., Hohmann A., Wunderlich A., Sander C., Sander F.M., Sander F.G. Stress distribution and displacement analysis during an intermaxillary disjunction − A three-dimensional FEM study of a human skull // Journal of Biomechanics. − 2008. − Vol. 41. − P. 376–382.

3.Işeri H., Tekkaya A.E., Öztan Ö., Bilgiç S. Biomechanical effects of rapid maxillary expansion on the craniofacial skeleton, studied by the finite element method // European Journal of Orthodontics. − 1998. − Vol. 20. − P. 347−356.

4.Jafari A., Shetty K.S., Kumar M. Study of Stress Distribution and Displacement of Various Craniofacial Structures Following Application of Transverse Orthopedic Forces − A Three-dimensional FEM Study // Angle Orthodontist. − 2003. − Vol. 73, no. 1. − P. 12−20.

5.Lee H., Ting K., Nelson M., Sun N., Sung S.-J. Maxillary expansion in customized finite element method models // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. − 2009. − Vol. 136, no. 3. − P. 367−374.

6.Ludwig B., Baumgaertel S., Zorkun B., Bonitz L., Glasl B., Wilmes B., Lisson J. Application of a new viscoelastic finite element method model and analysis of miniscrew-supported hybrid hyrax treatment // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. − 2013. − Vol. 143, no. 3. − P. 426–435.

7.Pan X., Qian Y., Yu J., Wang D., Tang Y., Shen G. Biomechanical Effects of Rapid Palatal Expansion on the Craniofacial Skeleton With Cleft Palate: A Three-Dimensional Finite Element Analysis // Cleft Palate–Craniofacial Journal. − 2007. − Vol. 44, no. 2. − P. 149−154.

8.Provatidis C., Georgiopoulos B., Kotinas A., McDonald J. P. On the FEM modeling of craniofacial changes during rapid maxillary expansion // Medical Engineering Physics. − 2007. − Vol. 29. − P. 566−579.

9.Wang D., Cheng L., Wang C., Qian Y., Pan X. Biomechanical analysis of rapid maxillary expansion in the UCLP patient // Medical Engineering and Physics. − 2009. − Vol. 31. − P. 409–417.

10.Wood S.A., Strait D.S., Dumont E.R., Ross C.F., Grosse I.R. The effects of modeling simplifications on craniofacial finite element models: The alveoli (tooth sockets) and periodontal ligaments // Journal of Biomechanics. − 2011. − Vol. 44. − P. 1831–1838.

11.Chung C.H., Font B. Skeletal and dental changes in the sagittal, vertical, and transverse dimensions after rapid palatal expansion // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. − 2004. − Vol. 126. − P. 569–575.

УДК 539.3+612.311

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАЧАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОРНЯ ЗУБА В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ПЕРИОДОНТАЛЬНОЙ СВЯЗКЕ

С.М. Босяков, А.Ф. Мселати

Белорусский государственный университет,

Беларусь, 220030, г. Минск, пр. Независимости, 4, bosiakov@bsu.by

Ключевые слова: начальные перемещения корня зуба, периодонтальная связка, винтовая линия.

Введение

Начальные перемещения зуба возникают при кратковременном действии нагрузки, после снятия которой зуб возвращается на прежнее место [1]. При математическом моделировании напряженно-деформированного состояния системы зуб – периодонтальная связка в большинстве случаев корень зуба аппроксимируется круговым (эллиптическим) параболоидом или гиперболоидом [2−5]. Предложенный в этих работах подход основывается на определении перемещений зуба как комбинации поступательных перемещений вдоль координатных осей и углов поворота относительно этих же осей. Предложенный в этих работах подход основывается на определении перемещений зуба как комбинации поступательных перемещений вдоль координатных осей и углов поворота относительно этих же осей. Основными результатами являются нахождение центров сопротивления зуба, величин перемещений и углов поворота корня и напряжений, возникающих в периодонтальной связке. Настоящая работа развивает этот подход и посвящена разработке аналитической модели начальных перемещений зуба в форме эллиптического гиперболоида в линейно-упругом периодонте.

Материалы и методы

Внешняя поверхность корня зуба и прилегающая к нему внутренняя поверхность периодонтальной связки описывается уравнением эллиптического гиперболоида

твердым телом); е − эксцентриситет эллипса в поперечном сечении зуба на уровне альвеолярного гребня, e = 1−(ba)2 ; a , b − полуоси эллипса в се-

чении корня зуба на уровне альвеолярного гребня; p − параметр, характери-

зующий закругление вершины корня зуба.

Внешняя поверхность периодонтальной связки, прилегающая к костной ткани зубной альвеолы, смещена по нормали по отношению к поверхности корня зуба на величину δ (толщина периодонтальной связки постоянна).

При действии на зуб сосредоточенной силы f = (fx , f y , fz ) точки пе-

риодонта, прилегающие к поверхности корня зуба, получают перемещения, равные перемещению корня. Внешняя поверхность периодонтальной связки является жестко закрепленной. В соответствии с работами [2, 3], будем считать периодонт несжимаемым материалом с коэффициентом Пуассона равным 0,49. Поэтому компоненты тензора деформаций в системе координат, связанной с нормалью, образующей и направляющей к внешней поверхности корня зуба, можно представить в следующем виде [2, 3]:

где un , ut , uθ − перемещения точек периодонта вдоль нормали, образующей

и направляющей к поверхности корня зуба; δ − ширина периодонтальной связки в направлении нормали к поверхности. Заметим, что аналогичный подход к определению деформаций использован в работе [6] при распределении жевательной нагрузки при центральной окклюзии.

Любое перемещение корня зуба может быть описано посредством комбинации поступательных перемещений u0x , u0 y и u0z вдоль соответствую-

щих координатных осей и углами поворота вершины корня θx , θy и θz относительно этих же осей:

Поступательные перемещения и углы поворота найдем из условий равновесия корня зуба (равенство нулю главного вектора и главного момента сил, действующих на зуб).

После преобразований уравнения примут вид

где cx , cy , cz − жесткости периодонтальной связки при поступательном перемещении корня зуба вдоль координатных осей; cθxy , cθyz − статические моменты жесткостей; cθx , cθz − жесткости периодонта при повороте корня зуба относительно оси 0x, 0z при действии силы вдоль этой координатной оси;

38 Всероссийская конференция «БИОМЕХАНИКА – 2014»

µx , µy , µz − жесткости периодонта при поворотах корня зуба относительно

Условия поступательного перемещения

Определим координаты точки P1 (0, y1, 0) приложения сосредоточенной

нагрузки, действующей параллельно оси 0x таким образом, что зуб перемещается поступательно. В этом случае из системы (4) следует

y1 = −cθx cx .

Координаты точки P2 (0, y2 , 0), через которую проходит линия действия силы для поступательного смещения зуба вдоль оси 0z, найдем аналогично. В результате получим

y2 = −cθz cz .

Покажем, что можно задать такую сосредоточенную нагрузку, линия действия которой проходит через центр сопротивления P1 (P2 ) и расположе-

на в плоскости симметрии корня x0 y (z0 y ), при действии которой корень

зуба получает корпусное перемещение. Для определенности будем считать, что зуб движется поступательно в плоскости x0 y при действии сосредото-

ченной силы с составляющими (fx , fy , 0). Сила прикладывается в точке с координатами (xf , y f , 0). В этом случае углы поворота θx = θy = θz = 0, поступательное перемещение u0 z = 0. Из системы уравнений (4) получим

(y f − y1 ) xf = fy fx = tg(α1 ).

Отсюда следует, что для заданной точки приложения нагрузки в плоскости x0 y можно установить такие составляющие fx и fy , что линия дей-

ствия силы будет располагаться под углом α1 к оси 0x.

Рассуждая аналогичным образом, получим следующее условие поступательного перемещения корня зуба в плоскости y0z при действии нагруз-

ки с составляющими (0, fy , fz ), приложенной в точке с координатами (0, y f , z f ):

(y f − y2 ) z f = fy fz = tg(α2 ).

Таким образом, при действии нагрузки в плоскости симметрии зуба, линия действия которой проходит через центр сопротивления, зуб получает корпусное перемещение. Это обстоятельство подтверждают выводы экспериментальной работы [7] о зависимости центров сопротивления от направления прикладываемой нагрузки.

Заключение

В случае симметричного эллиптического поперечного сечения корня зуба не существует единого центра сопротивления. Корпусное движение зуба имеет место при действии силы произвольной величины при условии, что линия действия силы проходит вдоль оси сопротивления. Также корпусное движение наблюдается в случае, если линия действия силы расположена в плоскости симметрии и проходит через соответствующий центр сопротивления.

Анализ зависимости положения центра сопротивления от параметра, характеризующего закругление корня в апексе, показывает, что для корней зубов, имеющих в апексе геометрическую форму, близкую к конусу с малым углом раствора, координата центра сопротивления удалена на большее расстояние от вершины корня по сравнению с корнями с более закругленной вершиной. Для смещения на определенное расстояние зубов с закругленными корнями необходима большая нагрузка, чем для смещения на это же расстояние корней с заостренными вершинами.

Благодарности

Работа поддержана Государственной программой научных исследований «Конвергенция» (задание 1.8.01).

Список литературы

1.Ziegler A., Keilig L., Kawarizadeh A., Jäger A., Bourauel C. Numerical simulation of the biomechanical behaviour of multi-rooted teeth // European Journal of Orthodontics. − 2005. − Vol. 27. − P. 333–339.

2.Provatidis C.G. An analytical model for stress analysis of a tooth in translation // International Journal of Engenireeng Science. − 2001. − Vol. 39. − P. 1361−1381.

3.Van Schepdael A., Geris L., Van der Sloten J. Analytical determination of stress patterns in the periodontal ligament during orthodontic tooth movement // Medical Engenireeng and Physics. − 2013. − Vol. 35. − P. 403–410.

4.Наумович С.А., Крушевский А.Е. Биомеханика системы зуб – периодонт. – Минск: Экономические технологии, 2000. – 132 с.

5.Bosiakov S.M., Yurkevich K.S. Determination of stiffnesses of the bone tissue at translational displacements and rotations of the tooth root // Russian Journal of Biomechanics. − 2010. − Vol. 14, no. 2. − P. 36−45.

6.Дударь О.И., Костерина И.П., Майорова Л.В., Фатеева Н.А. Распределение жевательной нагрузки по зубному ряду при центральной окклюзии // Российский журнал биомеханики. – 2009. – Т. 13, № 3. – С. 56–62.

7.Nägerl H., Burstone C.J., Becker B., Kubein-Messenburg D. Centers of rotation with transverse forces: an experimental study // American Journal of Orthodontics and Dentofacial Orthopedics. − 1991. − Vol. 99. − P. 337−345.

УДК 539.3

ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПРИ АКУСТИЧЕСКОМ МОНИТОРИНГЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ

А.О. Ватульян, И.В. Богачев

Южный федеральный университет,

Россия, 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, vatulyan@math.rsu.ru

Ключевые слова: неоднородности, акустическое зондирование, обратные задачи.

Введение

Развитие моделирования в биомеханике в последние годы происходит в нескольких направлениях. Одно из направлений основано на изучении особенностей напряженно-деформированного состояния некоторого фрагмента ткани (сосуда в физиологическом состоянии, сосуда с заплаткой после оперативного вмешательства, роговицы после одной из офтальмологических операций, бедренной кости с элементами фиксации) с помощью конечноэлементных расчетов. При этом расчеты осуществляются для реальных геометрических размеров и пропорций соответствующего фрагмента, которые легко определяются при использовании современных диагностических средств, однако физические характеристики (модули Юнга, коэффициенты Пуассона, плотность, реологические параметры) выбираются среднестатистическими для конкретного пациента, что в значительной степени делает условными рекомендации по выбору стратегии лечения и оптимального материала импланта. Одна из важнейших проблем на пути к осуществлению индивидуального подхода к планированию операций состоит в разработке теоретических основ дальнейшего совершенствования методов диагностики на основе существующих методов (ультразвуковых, тепловых, магнитных и др.) и разработке новых средств. Определение механических свойств ткани конкретного пациента поможет дать более обоснованные рекомендации как по стратегии оперативного вмешательства, так и по дальнейшему прогнозу.

В данной работе предлагается подход, позволяющий на основе результатов акустического зондирования определять характеристики локальных неоднородностей в биологических тканях. Рассмотрена задача идентификации механических и геометрических характеристик кости, имеющей локализованные неоднородности, например переломы или костные мозоли, на основе анализа резонансных частот [1]. Представлены результаты соответствующих вычислительных экспериментов.