472

3.Кривые второго порядка

3.1Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности.

Расстояние от центра окружности до любой ее точки называется радиусом окружности (рис. 3.1).

Получим уравнение окружности радиуса R с центром в точке М(a;b). Обозначим координаты произвольной точки на окружности N(x;y).

Вычислим расстояние от центра до этой точки как длину соответствующего

вектора MN и приравняем его к значению радиуса R:

(x - a)2 (y b)2 R .

окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Пример. Найти уравнение траектории точки, которая перемещаясь по плоскости xOy, остаётся в два раза дальше от точки A ( 3,0), чем от начала

координат (рис. 3.2 )

2

3.2 Эллипс и его свойства

Определение. Эллипсом называется множество точек на плоскости,

сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a , a 0), большая, чем

расстояние между фокусами.

(ЭЛЛИПС)

Принимая во внимание определение эллипса, выведем его уравнение. Если определённым образом выбрать систему координат, то можно получить простейшую форму уравнения эллипса, которая называется каноническим уравнением (рис. 3.4). Итак, проведём ось Ox через фокусы от фокуса F1 к

фокусу F2 .

Начало координат возьмём в середине отрезка F1F2 . Если расстояние между фокусами обозначить через 2c (c 0), то очевидно, что фокусы

имеют координаты F1( c ,0), F2(c ,0).

Ось Oy направим так, чтобы система xOy была бы правой. Пусть точка

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс пересекает координатные оси в точках A1( a ,0), A2(a ,0), B 2(0,b) и

B 2(0, b), которые называются вершинами эллипса. Отрезки A1A2 и B1B 2 ,

равные 2a и 2b соответственно, называются большой и малой осями эллипса, a и b - большой и малой полуосями. Эллипс симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

Доказательство. В случае, если точка М находится на пересечении эллипса

с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 b2 c2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

a2 = b2 + c2 r1 + r2 = 2a.

4

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется

эксцентриситетом.

ε = с/a.

Т.к. с < a, то ε < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия

эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – ε2.

Если a = b (c = 0, ε = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения r1 = a – ε x, r2 = a + ε x.

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

r1 (x c)2 y 2 r2 (x c)2 y 2

(x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2

4cx 4a2 4a (x c)2 y2

(x c)2 y a ac x a x.

Аналогично доказывается, что r2 = a + εx. Теорема доказана.

Сэллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x= a/ε; x = -a/ε (рис. 3.5).

Теорема. Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до какогонибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная

эксцентриситету эллипсаdr .

5

оси Оу, а малая ось 2a — на оси Ох (рис. 3.6). Фокусы такого эллипса

Рис. 3.6

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и

нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: x2 y 2 1. 25 16

Решение.

1)Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2)Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

3)Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

6