472
.pdf
Расстояние от точки до прямой на плоскости
M(x*;y*;z*)
d |
l: Ax+By+C=0 |
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
d l Ax * By * Cl .
A2 B2
Общее уравнение плоскости
n {A;B;C}
αМ (x0;y0;z0 )
n {A;B;C} - нормальный вектор плоскости,
М (x0;y0;z0 ) - произвольная точка в плоскости.
Уравнение плоскости может быть записано в виде:
A (x-x0 ) B(y- y0 ) C(z-z0 ) 0.
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим
общее уравнение плоскости следующего вида
Ax By Cz D 0,
где D Ax0 -By0 -Cz0 ,
n {A;B;C} - нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
М ( x1 ;y1 ; z1 )
Q ( x3 ; y3 ; z3 )
αN ( x2 ; y2; z2 )
|
|
x - |
y - |
z - |
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение плоскости α: |
|
- |
- |
- |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
p { |
l |
m n |
} |
М ( x1 ;y1 ; z1 ) |
|
1 |
; ; |
1 |
|
||
|
1 |
|
|
||
α
q { l2 ; m2; n2 }
|
|
x - |
y - |
z - |
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение плоскости α: |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки до плоскости 
M(x0;y0;z0)
d
α
Пусть плоскость α задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0. Тогда расстояние от точки М до плоскости может быть найдено
по следующей формуле:
d lAx0 By0 Cz0 Dl. 
A2 B2 C2
Взаимное расположение плоскостей
1. Плоскости параллельны n1 {A1,B1,C1}
α
n2 {A2,B2,C2 } 
β
αllβ n1 lln2 A1 B1 C1 .
A2 B2 C2
2. Плоскости перпендикулярны
β
n2 {A2;B2;C2 }
n1 {A1;B1;C1}
α
α β n1 n2 n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0.
3. Плоскости пересекаются под произвольным углом
n2 {A2;B2;C2 } |
n1 {A1;B1;C1} |
|
φ |
α
|
|
|
n |
;n |
) |
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
ln1l ln2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A1 A2 B1 B2 C1 C2 |
|
. |
||||||
A2 |
B2 |
C 2 |
A2 |
B2 C 2 |
|||||
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
Прямая в пространстве. Способы задания.
q {k;m;n} |
- направляющий вектор |
l
M (x0,y0,z0) - точка на прямой
1. Канонические уравнения прямой l
l: |
x-x0 |
|
y y0 |
z-z0 . |
|
m |
|||||
|
k |
|
n |