472

симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости xOz , yOz и координатная ось Oz .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy . На этой плоскости z 0, поэтому

Это уравнение на плоскости yOz задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью xOz также является параболой

z x2 , a2

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 4.5.5).

Рис. 4.5.5. Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью z h , h 0. Уравнения этой линии

19

где a1 a h , b1 b h . Уравнение (4.5.4) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси Oy , а мнимая – оси Ox . Полуоси равны соответственно a1 и b1. Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 4.5.6).

Найдем линии пересечения с плоскостями x m , параллельными плоскости yOz . Уравнения этих линий имеют вид

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью yOz , только сдвинутой вдоль оси Oz на величину

m2 вверх. Эти параболы изображены на рисунке 4.5.6. a2

Рис. 4.5.6. Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

20

§4.6. Цилиндры

(Цилиндрические поверхности)

Определение. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые –

образующими.

Рассмотрим уравнение вида

ипокажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с

– некотораяобразующими, параллельными оси 0 0 0 0

точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.6.1). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная z , ему будут удовлетворять координаты всех точек M x0;y0;z , где z – любое число. Следовательно, при

любом z точка M лежит на поверхности, определяемой уравнением (4.6.1). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку M 0 параллельно оси Oz . А это означает, что поверхность,

определяемая уравнением (4.6.1), составлена из прямых, параллельных оси Oz , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости xOy уравнение (4.6.1) определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка, а это значит, что уравнение (4.6.1), их задающее будет частным случаем уравнения (4.6.1):

a11x2 a22y2 2a12xy b1x b2y c 0.

Определение. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

называется эллиптическим цилиндром.

Определение. Поверхность, которая задается уравнением

22

называется параболическим цилиндром.

Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (4.6.2), или уравнением (4.6.3), или (4.6.4), достаточно нарисовать на плоскости xOy направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси Oz . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости xOy . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 4.6.1, 4.6.3 и 4.6.5, а их объемные изображения – на рисунках 4.6.2, 4.6.4 и 4.6.6.

Рис. 4.6.1. Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

Рис. 4.6.2. Эллиптический цилиндр

23

Утверждение 1. Пусть некоторая поверхность задана уравнением

F x x1;y y1;z z1 0.

Тогда в системе координат с началом в точке O1 x1;y1;z1 и осями O1~x , O1~y , O1~z , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид F ~x;~y;~z 0.

Пример. Нарисуйте поверхность 4x2 y2 z2 8x 4y 2z 3 .

Решение. Выделим полные квадраты по переменным x, y,z :

4x2 8x y2 4y z2 2z 3; 4 x2 2x y2 4y z2 2z 3;

4 x2 2x 1 1 y2 4y 4 4 z2 2z 1 1 3 4 x2 2x 1 4 y2 4y 4 4 z2 2z 1 1 3.

Отсюда

4 x 1 2 y 2 2 z 1 2 4.

получающуюся из старой параллельным переносом. По утверждению 1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

26

Ее мнимая ось лежит на оси O1~y , а действительная ось лежит на оси O1~x , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью ~xO1~z получаем равностороннюю гиперболу с уравнением

~y 2 ~z 2 1.

22 22

Ее мнимая ось лежит на оси O1~y , а действительная ось лежит на оси O1~z , обе

полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости ~xO1~z . В сечениях получим эллипсы,

подобные эллипсу в плоскости ~xO1~z . По рассмотренным сечениям можно

представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 4.7.1). Объемное изображение приведено на рис. 4.7.2.

Рис. 4.7.1. Изображение поверхности с помощью сечений

27